Question

如图，在正方形ABCD中,E为AB上一点,F为BC上一点,且AE+CF=EF 求证：∠EDF=45°

Answer 1

楼上的做法显然是错误的，因为要证明全等要还差一个条件，根本证不出来。

而且有个条件“AE+CF=EF”是一定有用的。

证明：延长BA到G，使AG=CF，连接DG。

易证：△ADG≌△CDF

∴∠1=∠2，CF=AG,DG=DF,∠G=∠DFC

∵AE+CF=EF

∴AE+AG=EF

即EG=EF

∴△GDE≌△EDF（SAS）

∴∠GDE=∠EDF

又∵∠2+∠ADF=90°

∴∠1+∠ADF=90°

即∠GDF=90°

∴∠EDF=1/2∠GDF=45°

Answer 2

证明：在EF上取一点M，使MF=CF，则EM=AE，连接DM
可证△DCF≌△MDF,△DAE≌△DME,
得到∠ADE=∠EDM,∠MEF=∠FDC,
所以∠ADE+∠FDC=∠EDF
因为∠ADE+∠FDC+∠EDF=90°
所以2∠EDF=90°
所以∠EDF=45°