高等数学 定积分
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2024-12-15 广告
考研通常是在大四进行。大学生一般会选择在大四上学期参加12月份的全国硕士研究生统一招生考试，如果顺利通过考试，次年9月即可入读研究生。当然，也有部分同学会选择在大三期间开始备考，提前为考研做好知识和心理准备。但这并不意味着他们能在大三就参加...
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（1）因为被积函数是偶函数
所以原式=2∫(0,1/2) (arcsinx)^2/√(1-x^2)dx
=2∫(0,1/2) (arcsinx)^2d(arcsinx)
=(2/3)*(arcsinx)^3|(0,1/2)
=(π^3)/324
（2）原式=∫(-π,π) 3x^2*sinxdx+∫(-π,π) 2xsinxdx
因为3x^2*sinx是奇函数，2xsinx是偶函数
所以原式=0+2∫(0,π) 2xsinxdx
=-4∫(0,π) xd(cosx)
=-4xcosx|(0,π)+4∫(0,π) cosxdx
=4π+4sinx|(0,π)
=4π
所以原式=2∫(0,1/2) (arcsinx)^2/√(1-x^2)dx
=2∫(0,1/2) (arcsinx)^2d(arcsinx)
=(2/3)*(arcsinx)^3|(0,1/2)
=(π^3)/324
（2）原式=∫(-π,π) 3x^2*sinxdx+∫(-π,π) 2xsinxdx
因为3x^2*sinx是奇函数，2xsinx是偶函数
所以原式=0+2∫(0,π) 2xsinxdx
=-4∫(0,π) xd(cosx)
=-4xcosx|(0,π)+4∫(0,π) cosxdx
=4π+4sinx|(0,π)
=4π
追问
那第三题和第四题咋做哈？
追答
（3）令x=sect，则dx=tantsectdt
原式=∫(0,π/3) tant/sect*tantsectdt
=∫(0,π/3) tan^2tdt
=∫(0,π/3) (sec^2t-1)dt
=(tant-t)|(0,π/3)
=√3-π/3
（4）原式=∫(0,1)f(x)dx+∫(1,2)f(x)dx
=∫(0,1) xdx+∫(1,2) e^(x-1)dx
=(1/2)*x^2|(0,1)+e^(x-1)|(1,2)
=1/2+e-1
=e-1/2
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