Question

多元函数的极值

多元函数的极值建造容积为v的开顶长方体水池，长宽高各应为多少时，才能使面积最小

Answer 1

• V=xy·h→h=v/xy

  S(x,y)=xy+2(xh+yh)=xy+2v(1/x+1/y)

  ∂S/∂x=y-2v/x²

  ∂S/∂y=x-2v/y²

  驻点(∛2v,∛2v)、(0,0)舍去

  ∂²S/∂x²=4v/x³→A=2

  ∂²S/∂x∂y=1    →B=1

  ∂²S/∂y²=4v/y³→C=2

  A>0 B²-AC=1-4<0 驻点为极小值点

  取得极小值时长宽均=∛(2v) 高=∛(v/4)

追问

高的答案不是1/2∛(2v)吗？

Answer 2

V=xyz, S=xy+2z(x+y)求S最小值。两个办法，
一是直接用V消去z，然后S=S(x,y),变为二元函数极值问题。
还有就是Lagrange乘子法。梯度V＝(yz,xz,xy), 梯度S＝(y+2z,x+2z,2x+2y)。两个梯度必定平行，且根据对称性x=y，则有(xz,xz,x^2)平行于(x+2z,x+2z,4x)。从而可以解出来x=2z，即最优解是
x=y=2z=(2V)的开立方。