Question

高数证明题，直接上图

Answer 1

解析
（1）对函数f（x）求导数，得f'（x）=，再讨论分子对应函数的单调性，得f'（x）的分子最大值小于0，从而得到f'（x）＜0在区间（0，π）上恒成立，所以f（x）是区间（0，π）上的减函数；
（2）为了证明原不等式，利用（1）中的单调性，证明出不等式（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a2）sinx区间（0，π）上恒成立．结合（1-2a+a2）sinx≥（1-2a）sinx得（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx，移项整理即得原不等式成立．

答案
解：（1）∵f（x）=，∴f'（x）=
设g（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π）．则g'（x）=-xsinx＜0
∴g（x）在（0，π）上为减函数
又∵g（0）=0，∴当x∈（0，π）时，g（x）＜0，
∴当x∈（0，π）时，f'（x）=＜0，可得f（x）在区间（0，π）上是减函数 …（5分）
（2）显然，当a=0、1时，或x=0、π时，不等式成立
当0＜a＜1且0＜x＜π时，原不等式等价于：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx．
下面证明一个更强的不等式：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a2）sinx．…①
即sin（1-a）x≥（1-a）sinx．…②
亦即≥
由（1）知在（0，π）上为减函数
又∵（1-a）x≤x，∴≥，得不等式②成立，从而①成立
∵（1-2a+a2）sinx≥（1-2a）sinx．
∴（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx．
综上所述，得0≤x≤π，且0≤a≤1时，原不等式成立

Answer 2

2.证明：∵∫<0,π>xf(sinx)dx=-∫<π,0>(π-x)f(sin(π-x))dx (用π-x代换x)
==>∫<0,π>xf(sinx)dx=∫<0,π>(π-x)f(sinx)dx (sin(π-x)=sinx)
==>∫<0,π>xf(sinx)dx=π∫<0,π>f(sinx)dx-∫<0,π>xf(sinx)dx
==>2∫<0,π>xf(sinx)dx=π∫<0,π>f(sinx)dx (等式移项)
==>∫<0,π>xf(sinx)dx=(π/2)∫<0,π>f(sinx)dx (等式两端同除2)
∴∫<0,π>xf(sinx)dx=(π/2)∫<0,π>f(sinx)dx等式成立，证毕。

Answer 3

设 x = π-u，
∫<下0, 上π>xf(sinx)dx = ∫<下π, 上0>(π-u)f[sin(π-u)](-du)
= ∫<下0, 上π>(π-u)f(sinu)du
= π∫<下0, 上π>f(sinu)du - ∫<下0, 上π>uf(sinu)du
(定积分与积分变量无关，将 u 改写为 x)
= π∫<下0, 上π>f(sinx)dx - ∫<下0, 上π>xf(sinx)dx
解得 ∫<下0, 上π>xf(sinx)dx = (π/2)∫<下0, 上π>f(sinx)dx

Answer 4

以上，请采纳。

Answer 5

推广的积分中值定理