Question

21题第二问求解（完整解答）

Answer 1

如图所示，连接AE、DE、OF、DF。

因为∠C=90°，所以在直角△ACE中有∠CAE+∠CEA=90°，

因为点F在圆O上，AD为直径，所以∠AFD=90°，

在直角△AFD中有∠FAD+∠FDA=90°，

又因为∠FEA、∠FDA均为弦AF的圆周角，有∠FEA=∠FDA，

所以∠CAE=∠FAD，而∠CAE=∠CAF+∠FAE，∠FAD=∠FAE+∠EAD，

所以∠CAF=∠EAD，即有tan∠CAF=tan∠EAD，

因为点F为弧AE的中点，即AF=EF，所以△AFE为等腰三角形，

易知OF⊥AE，因为点E在圆O上，有AE⊥DE，所以OF∥DE，

又因为OD=DB，所以DE为△FOB的中位线，有OF=2DE，

所以OF=OA=OD=2DE，AD=4DE，

因为在直角△ADE中根据勾股定理算得AE=√(AD²-DE²)=√[(4DE)²-DE²]=(√15)DE，

所以tan∠CAF=tan∠EAD=DE/AE=DE/[(√15)DE]=(√15)/15。