Question

已知数列an满足a1=1,an+1=（n+1/n）*an+n+1/2^n（1）设bn=an/n，

求bn的通项公式（2）求数列an的前n项和

Answer 1

a<n+1>=（n+1)/n*an+(n+1)/2^n,
两边都除以(n+1),得a<n+1>/(n+1)=an/n+1/2^n,
即b<n+1>=bn+1/2^n,
bn=b<n-1>+1/2^(n-1),
……
b2=b1+1/2
b1=.......1,
累加得bn=1+1/2+……+1/2^(n-1)
=2-1/2^(n-1).
所以an=nbn=2n-n/2^(n-1),
所以数列an的前n项和Sn
=n(1+n)-Tn,
其中Tn=1+2/2+3/2^2+……+n/2^(n-1)，②
所以(1/2)Tn=1/2+2/2^2+……+（n-1）/2^(n-1)+n/2^n.③
②-③，(1/2)Tn=1+1/2+1/2^2+……+1/2^(n-1)-n/2^n
=2-1/2^(n-1)-n/2^n
=2-(2+n)/2^n,
所以Tn=4-(2+n)/2^(n-1),
所以Sn=n^2+n-4+(2+n)/2^(n-1).

Answer 2

a(n＋1)－a(n)=3^n＋1
则：
a(n)－a(n－1)=3^(n－1)＋1
当n≥2时，有：
a2－a1=3＋1
a3－a2=3²＋1
a4－a3=3³＋1
……
a(n)－a(n－1)=3^(n－1)＋1
上述等式相加，得：
a(n)－a1=[3＋3²＋3³＋…＋3^(n－1)]＋n
a(n)－a1=(1/2)[3^(n)－3]＋n (n≥2)
1、将a1的值代入，得到：a(n)=(1/2)[3^(n)－3]＋n＋a1 (n≥2)
2、得到的是当n≥2时的表达式，注意a1需要再次确认。