Question

为什么正三棱锥的顶点到底面的投影在底面的重心上？

我知道正三角形三心合一，最好能给我证明一下我的问题

Answer 1

正三棱锥底面是正三角形，
正三角形的几何中心、重心、垂心、内心、外心都是同一个点。。

假设正三棱锥顶点为O，底面三角为ABC，过正三棱锥顶点做垂线oo'垂直于面ABC，交面ABC于O'点。

连接AO',BO',CO'
则角OO'A＝OO'B＝OO'C＝90度
又OA=OB=OC，
三角形OO'A，OO'B，OO'C全等，O'A=O'C=O'B

因此O'是底面三角形的几何中心。正三角形三心重合，所以O'是重心。