Question

以知函数的定义域是(0,正无穷),当x>1时,f(x)<0且f(x·y)=f(x)+f(y),证明：f(x)在定义域上是减函数。

Answer 1

楼上证明有误..

对于任意的x1,x2,
假设0<x1<x2,
有x2/x1>1,
据题意,x>1时,f(x)<0,因此f(x2/x1)<0,
又由f(x·y)=f(x)+f(y),
有f(x2)=f(x1)+f(x2/x1),
因为f(x2/x1)<0,
有f(x2)=f(x1)+f(x2/x1)<f(x1),
即对于任意的0<x1<x2,有:
f(x2)<f(x1),
因此,f(x)在定义域上是减函数..

Answer 2

f(x)>0：
令X1，X2 （0<X1<X2) X2/X1=M>1
有f(x2)=f(x1)+f(M) f(x2)-f(x1)=f(M)>0
所以f(x)在定义域上是增函数。

同理：,f(x)<0时，f(x)在定义域上是减函数。