Question

设f(x)在[0,+∞)上二阶可导,f(0)=0,f'(0)<0,f''(x)≥M>0，则方程f(x)=0在(0,+∞)不同实根的个数为

设f（x）在[0,+∞)上二阶可导,f(0)=0,f'(0)<0,f''(x)≥M>0，则方程f(x)=0在[0,+∞)不同实根的个数为

Answer 1

f''(x)≥M>0，
所以f'(x)是增函数，无上界，
f'(0)<0，
所以存在x0>0,使得f'(x0)=0,当0<x<x0时f'(x)<0,f(x)是减函数；当x>x0时f'(x)>0,f(x)是增函数。于是f(x)>=f(x0),
f(0)=0,
所以f(x0)<0,
所以方程f(x)=0在[0,+∞)不同实根的个数为2.
注：方程f(x)=0在(0,+∞)不同实根的个数为1.

Answer 2

因为f''(x)>=M>0，所以f'(x) =f'(0)+∫f''(t)dt |0,x >=f'(0)+∫Mdt|0,x = Mx +f'(0)
当x>-f'(0)/M时，f'(x)>0，因为f'(0)<0，所以f'(x)有零点

由f''(x)>=M>0得知f'(x)单调增，在(0,+∞）上只有一个零点
f'(x)有且只有一个零点x=x0，且这个零点处f''(x0)>0，所以该点处f(x0)取极小值a
在(0,x0)上f'(x)<0恒成立，所以f(x)单调减，f(x)无零点
当x>x0时，f'(x)>0，f(x)单调增，且f(x)=f(x0)+∫f'(t)dt |t=x0, x >=f(x0)+∫Mt+f'(0)dt |t=x0,x
=f(x0) +0.5Mt^2 +f'(0)t
显然当x趋于正无穷大f(x)趋于正无穷大
所以在(x0,正无穷大）上f有一个零点
所以f有两个不同零点

Answer 3

算了半小时,
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