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哦，看错题目了，积分区间应该是-π/2→0
最终答案是π/4-1/3
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2x-x^2 = 1-(x-1)^2
let
x-1 = sinu
dx = cosu du
x=0, u=-π/2
x=1, u=0
∫(0->1) x.√(2x-x^2) dx
=∫(-π/2->0) (1+sinu) . (cosu)^2 du
=∫(-π/2->0) (cosu)^2 du + ∫(-π/2->0) sinu . (cosu)^2 du
=(1/2)∫(-π/2->0) (1+cos2u) du -(1/3)[ (cosu)^3]|(-π/2->0)
=(1/2)[ u+(1/2)sin2u] |(-π/2->0) - 1/3
=π/4 - 1/3
let
x-1 = sinu
dx = cosu du
x=0, u=-π/2
x=1, u=0
∫(0->1) x.√(2x-x^2) dx
=∫(-π/2->0) (1+sinu) . (cosu)^2 du
=∫(-π/2->0) (cosu)^2 du + ∫(-π/2->0) sinu . (cosu)^2 du
=(1/2)∫(-π/2->0) (1+cos2u) du -(1/3)[ (cosu)^3]|(-π/2->0)
=(1/2)[ u+(1/2)sin2u] |(-π/2->0) - 1/3
=π/4 - 1/3
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