Question

递推数列的这种极限该怎么求？

大神求解。能有人给我个完整的解释吗？现在的回答我都看不懂，个人基础有点差

Answer 1

分享一种解法。∵(Xn+1)=(Xn)²-2，∴(1/2)(Xn+1)=2[(Xn/2)²]-1。
令(Xn)/2=cosh(an)。∴cosh(an+1)=cosh(2an)。∴an=(a1)*2^(n-1)。
又，(X1)/2=cosh(a1)，解得a1=ln[(√5+1)/2]。∴Xn=[(√5+1)/2]^[2^(n-1)]+[(√5-1)/2]^[2^(n-1)]。
可得，lim(n→∞)(X1*X2*…*Xn)/(xn+1)=1。
供参考。

追问

最后一步怎么变成1的，有点懵

追答

利用施笃兹（stolz）定理。

追问

还是不懂

追答

补充一个详细过程供你参考。按定义，coshx=[e^x+e^(-x)]/2。有关系式cosh(2x)=2cosh²x-1。
故，设(Xn)/2=cosh(an)。∴cosh(an+1)=cosh(2an)。∴an=(a1)*2^(n-1)。将X1=√5，代入(Xn)/2=cosh(an)，解得a1=(√5±1)/2【考虑(√5-1)/2与(√5-1)/2的特殊性，取a1=ln[(√5+1)/2]】。
∴Xn=[(√5+1)/2]^[2^(n-1)]+[(√5-1)/2]^[2^(n-1)]。
对求极限，结果是1时不错的。建议尝试一下“等价无穷小量替换”求解。供参考。

追问

趋近于无穷，怎么用“等价无穷小量替换”求解呀？

Answer 2

x1x2···xn/x(n+1)
=∏xn/x(n+1)
=(∏xn)²/∏x(n+1)
=∏(x(n+1)+2)/(√5+2)∏x(n+1)
=∏(1+2/x(n+1)) /(√5+2)
=(1+2/x1)(1+2/x2)···[1+2/x(n+1)]/(√5+2)

追问

√5+2怎么出来的?