Question

周期函数定积分，这个积分换元上下限都是0了，怎么答案说是大于0的？

不应该是恒等于0吗？

Answer 1

积分的上下限是根据积分变量来决定的，没化简之前积分元是dt，也就是说积分变量是t，但是现在换元后，积分变量变为x-t，而且x-t用新的变量u来代替，所以相应的积分上下限也要调整。书上有句话很重要：我们...

Answer 2

使用非单调函数换元需要划分区间使其单调，不能直接0到2π，要按照sinx的单调区间来划分。

追问

去x不是定积分周期函数的性质吗

Answer 3

I = ∫<x, 2π+x>e^(sint)sintdt = ∫<0, 2π>e^(sint)sintdt
= ∫<0, π>e^(sint)sintdt + ∫<π, 2π>e^(sint)sintdt
后者令 t = π+u，
I2 = ∫<π, 2π>e^(sint)sintdt = ∫<0, π>e^(-sinu)(-sinu)du
= -∫<0, π>e^(-sinu)sinudu 定积分与积分变量无关， 将 u 换为 t
= -∫<0, π>e^(-sint)sintdt
可得 I = ∫<0, π>[e^(sint)-e^(-sint)]sintdt
请附印刷版原题图片。

追问

我那个错在哪里了

Answer 4

我感觉有两个问题：
1、这样子换元太粗暴了。原函数的变化是从0-2π，换元以后应该是从0到1到0到-1再到0，把上下限直接换成0以后就没有这个变化了。以π/2一段一段算会稳一点。你看我给的图片

2、还有就是sin的反函数值域在-π/2到π/2，按道理0到2π的范围不能这么换

Answer 5

使用非单调函数换元需要划分区间使其单调