Question

微积分泰勒公式证明题？

Answer 1

因为f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=f(1)

所以根据罗尔定理，存在a∈(0,1)，使得f'(a)=0
将f(x)在x=a点处泰勒展开
f(x)=f(a)+f'(a)*(x-a)+f''(ξ)/2*(x-a)^2，其中ξ介于x和a之间
=f(a)+f''(ξ)/2*(x-a)^2……①
若a∈[0,1/2]，则将x=0代入①式
0=f(0)=f(a)+f''(ξ1)/2*a^2
f''(ξ1)=-2f(a)/a^2<=-2*2/(1/2)^2=-16
若a∈[1/2,1]，则将x=1代入①式
0=f(1)=f(a)+f''(ξ2)/2*(1-a)^2
f''(ξ2)=-2f(a)/(1-a)^2<=-2*2/(1-1/2)^2=-16
综上所述，存在ξ∈(0,1)，使得f''(ξ)<=-16

Answer 2