Question

一道函数题 急!

设函数f(x)=lg[x+√(x^2+1)]
①判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论
②证明函数f(x)在其定义域上是单调递增函数

请给出过程谢谢了！

Answer 1

1.首先因为x^2+1>=2|x|>|x|>=-x(x<>0),所以√(x^2+1)+x>0,因此函数f(x)=lg[x+√(x^2+1)]的定义域是(-∞,+∞), 其次f(-x)lg[-x+√(x^2+1)] =lg{[-x+√(x^2+1)]*[x+√(x^2+1)]/[x+√(x^2+1)]} =lg{[(x^2+1)-x^2]/[√(x^2+1)+x]} =lg{1/[x+√(x^2+1)]} =-lg[x+√(x^2+1)] =-f(x) 因此f(x)是在R上的奇函数
2、设x1＞x2
f(x1)-f(x2)=lg(x1+√(x1^2+1)-lg(x2+√(x2^2+1)
=lg(x1+√(x1^2+1)/(x2+√(x2^2+1)
因为x1＞x2 所以x1+√(x1^2+1)＞x2+√(x2^2+1)
所以(x1+√(x1^2+1)/(x2+√(x2^2+1)＞1
所以f(x1)-f(x2)＞lg1=0
所以f(1)＞f(x2)
所以f（x）在其定义域上是单调增函数

Answer 2

（2）对f(x)求导，f‘(x)=[√(x^2+1)-x]*[1+1/2*(x^2+1)^(1/2)]>0,所以单调递增，这是函数的性质

（1）f(-x)lgf(x)=lg{[-x+√(x^2+1)]*[x+√(x^2+1)]/[x+√(x^2+1)]} =lg{[(x^2+1)-x^2]/[√(x^2+1)+x]} =lg{1/[x+√(x^2+1)]} =-lg[x+√(x^2+1)] =-f(x) 所以f(x)是在R上的奇函数