Question

证明，若当X趋向于正无穷时，函数F(X)存在极限，则极限唯一

Answer 1

证明：lim(x→+∞)f(x)的极限是唯一的 用反证法证如下
假设函数f(x)当x趋于正无穷时函数极限不唯一
不妨假设lim(x→+∞)f(x)=A 且 lim(x→+∞)f(x)=B 并且A≠B。
由lim(x→+∞)f(x)=A
对于任意ε＞0，存在N1＞0，满足当x＞N1时
|f(x)-A|＜ε/2。
由lim(x→+∞)f(x)=B
对任意ε＞0，存在N2＞0，满足当x＞N2时
|f(x)-B|＜ε/2。
∴肯定能找到N=max{N1,N2}当x＞N时
|f(x)-A|+|f(x)-B|＜ε/2+ε/2=ε
又∵|f(x)-A|+|f(x)-B|=|A-f(x)|+|f(x)-B|≥|A-f(x)+f(x)-B|=|A-B|
∴|A-B|≤|f(x)-A|+|f(x)-B|＜ε
根据极限定义可知A=B。
与题目中A≠B矛盾。
因此原结论成立
即若当x趋近于+无穷,函数f(x)存在极限,则极限唯一。

Answer 2

x→∞是，函数极限为+∞的定义：设函数f（x）在|x|＞M处有定义，如果对于任意给定的正数Z，总存在正数ε（ε≥M），使得不等式|x|＞ε成立的x对于的f（x）都能使得f（x）＞Z成立，则称lim（x→∞）f（x）=+∞ 现在证明： f（x）在（-∞，+∞）上连续，所以f（x）在（-∞，+∞）上都有定义。所以f（0）也有定义，因为正数Z是任意选的，所以现在选一正数Z＞f（0），根据定义，总能找到一个正数ε，使得当|x|＞ε成立时，即-ε＜x＜ε时，f（x）＞Z都成立。而f（x）在闭区间[-ε，ε]上连续，所以必然在闭区间[-ε，ε]有最小值m，且m≤f（0）而在区间（-∞，-ε）和（-ε，+∞）中，f（x）＞Z＞f（0）≥m 所以m就是f（x）在（-∞，+∞）上的最小值。