Question

第二题 高数

Answer 1

x = a(cost)^3, y = a(sint)^3
dx/dt = -3asint(cost)^2, dy/dt = 3acost(sint)^2
y' = dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = -tant
y'' = dy'/dx = (dy'/dt)/(dx/dt) = -(dtant/dt)/(dx/dt)
= -(sect)^2/[-3asint(cost)^2] = (sect)^4/(3asint)
曲率 K = |y''|/(1+y'^2)^(3/2) = |(sect)^4/(3asint)|/[1+(tant)^2]^(3/2)
= |sect/(3asint)| = 1/|3asintcost)| = 2/|3asin(2t)|
在 t = t0 处， K = 2/|3asin(2t0)|

追问

y`为啥那样求

我的好像也啥对的吧

用曲率公式

追答

我这里 y' = dy/dx。
你写的 y' = dy/dt（不规范）, 不一样。你写的公式也对。看不到最后结果。

追问

你为啥是参数方程那样来求

老师给了一个这样公式

？？？

追答

如用你老师给的公式，规范写法是用 y 上一点表示 dy/dt, y 上两点表示 d^2y/dt^2, 而不是用撇，以区别于 y' = dy/dx。依次类推。
x = a(cost)^3, y = a(sint)^3
dx/dt = -3asint(cost)^2, dy/dt = 3acost(sint)^2
d^2x/dt^2 = -3a(cost)^3+6acost(sint)^2 = 3acost[2(sint)^2-(cost)^2]
d^2y/dt^2 = -3a(sint)^3 + 6asint(cost)^2 = 3asint[2(cost)^2-(sint)^2]
k = |(dx/dt)(d^2y/dt^2) - (dy/dt)(d^2x/dt^2)|/[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2]^(3/2)
分母 = {[-3asint(cost)^2]^2 + [3acost(sint)^2]^2}^(3/2)
= 27a^3|(sint)^3(cost)^3|
分子 = |-3asint(cost)^2·3asint[2(cost)^2-(sint)^2]
- 3acost(sint)^2·3acost[2(sint)^2-(cost)^2]|
= 9a^2(sint)^2(cost)^2
k = 9a^2(sint)^2(cost)^2/[27a^3|(sint)^3(cost)^3|]
= 1/[3|(sintcost|] = 2/|3asin(2t)|

追问

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