Question

二次函数压轴题，快！！！

9.如图1，抛物线F1：y=x2的顶点为P，将抛物线F1平移得到抛物线F2，使抛物线F2的顶点Q始终在抛物线F1图象上（点Q不与点P重合），过点Q直线QB平行x轴，与抛物线F1的另一个交点为B，抛物线F1的对称轴交抛物线F2于点A.
⑴四边形ABOQ能否成为正方形？若能需增加怎样的条件，说明理由，并求出此时点Q的坐标；
⑵若将“抛物线F1：y=x2”改为“抛物线F1：y=ax2”，其他条件不变，请你探究⑴中的问题；
⑶若将“抛物线F1：y=x2”改为“抛物线F1：y=a(x-m)2+n ”，当四边形ABOQ为正方形时，请你直接写出点Q的坐标

Answer 1

（1）能
设BQ交y轴于C点
因为是正方形，所以∠AOB=∠AOQ=45°
可知三角形BCO为等腰直角三角形
所以BQ两点的横纵坐标绝对值相等
即|X|=|y|，因为y=x²，所以BQ坐标分别为（-1，1）和（1，1）

(2)道理和（1）一样
只要|X|=|y|就行
x=y或x= -y
x=ax²或x=-ax²
解得x=正负1/a

(3)设Q（x，y）
你把图画出来
可以看到y-n=x-m
a(x-m)²=x-m
x=1/a +m
y=1/a +n

Answer 2

1）、能成正方形

由图可知，Q、B是关于y轴的对称，正方形的特性可知 QO⊥BO

可知QO的斜率k为±1，得Q的坐标为（1，1）或（-1，1）

所以增加的条件是两顶点的斜率为｜k｜=1

2）、当y=ax^2时，Q的坐标（1/a，1/a）或（-1/a，1/a），a≠0

3）、当y=a（x-m）^2+n
顶点坐标为（m，n），则QO的方程为y=(x-m)+n
或y=-（x-m）+n
所以得Q的坐标为（1/a+m，1/a+n）或（-1/a+m，1/a+m）