Question

高数题，求大神帮忙解答。15题

Answer 1

考虑函数
g（x）=f（x）-[f（b）-f（a）]/（b-a）●（x-a）-f（a）
f（x）非线性函数，g（x）不恒=0
g'（x）=f'（x）- [f（b）-f（a）]/（b-a）
g（x）不是常数，所以，存在g'（x）≠0的点，g（a）=g（b）=0,
根据中值定理，存在x0∈（a，b）
g'（x0）=f'（x0）- [f（b）-f（a）]/（b-a）=0
g'（x）不是常数，所以存在ξ∈（a，b），g'（ ξ ）≠0
f'（ ξ ）= [f（b）-f（a）]/（b-a）十g'（x）

追答

g（b）-g（a）=∫（a，b）g'（x）dx=0，g'（x）不恒=0,
因
此，在（a，b）内，必然同时有g'（x）>0和g'（x）0
或者g'（x）<0,不恒为0, ∫（a，b）g'（x）<0
与 ∫（a，b）g'（x）=0矛盾。

选取ξ∈（a，b），使得g'（ ξ ）与[f（b）-f（a）]/（b-a）同号
则f'（ ξ ）= [f（b）-f（a）]/（b-a）十g'（x）三项同号
| f'（ ξ ）|=| [f（b）-f（a）]/（b-a）|十|g'（x） |
即 | f'（ ξ ）|>| [f（b）-f（a）]/（b-a）|

同理，我们还可以得到，存在ξ∈（a，b），
| f'（ ξ ）|<| [f（b）-f（a）]/（b-a）|
和 | f'（ ξ ）|=| [f（b）-f（a）]/（b-a）|