Question

二重积分计算

题目如图。

Answer 1

对于这道题，我提供了两种方法
第一种方法就比较常规，直接列给坐标，将极坐标代换代入到原式，然后正常解矫的范围半径的范围可以把这个做出来，但是我们发现这一个区域，他是在y轴上的，如果咱们这么做的话，会很麻烦，有一些步骤得来回换
所以在这里我提供了第二种方法，就是咱们将坐标轴平移，将被积函数进行变换，得到的积分区域是原点和圆心重合的一个圆，这样咱们再计算就非常方便了，根据图片中我给的两种方法，你可以看出计算量，第二种方法计算量是非常小的，而且有的时候它的被积区域是一个不在x轴也不在y轴上，所以说这个时候我们就用第二种方法算的是非常快的，
如果满意我的答案，请采纳，不懂得话，请继续追问，谢谢
下面是我把两种方法给你拍的清楚一些的图片

Answer 2

因为二重积分定义的几何意义就是z值为正时曲顶柱体的体积，微元相当于 投影面积，被积函数相当于高。那么如果里面的被积函数值为1，就说明这个柱体的高被视为很小的定值，它相当于一个平面薄板，这个时候二重积分算的就是这个平面薄板的面积，也相当于它的体积。

Answer 3

积分域 D 对称于 y 轴， x 的奇函数积分为 0
I = ∫∫<D>(4-y)dσ = ∫<0, π>dt∫<0, 2sint>(4-rsint)rdr
= ∫<0, π>dt∫<0, 2sint>(4r-r^2sint)dr
= ∫<0, π>dt[2r^2-(1/3)r^3sint]<0, 2sint>
= ∫<0, π>[8(sint)^2 - (4/3)(sint)^5] dt
= 4∫<0, π>(1-cos2t)dt + (4/3)∫<0, π>[1-(cost)^2]^2dcost
= [4t - 2sin2t]<0, π> + (4/3)[cost - (2/3)(cost)^3 + (1/5)(cost)^5]<0, π>
= 4π + (4/3)(-2 + 4/3 - 2/5) = 4π - 64/45

Answer 4

如图

Answer 5

如图，两张图拼接

如图，如有疑问或不明白请追问哦！