Question

高中函数题，求解！！！谢谢

Answer 1

K=1/4
f(1/x)=(x+n)/(mx+2)
由f(x)f(1/x)=k
nx²+(n²+1)x+n=k[2mx²+(m²+4)x+2m]
因此2mk=n
k(m²+4)=n²+1
解出k=1/m² 或者k=1/4
如果k=1/m² 那么mn=2不符合题设
所以k=1/4

N=-7/2 M=-7
这个就是相对简单的代入计算了

追问

为什么nx²+(n²+1)x+n=k[2mx²+(m²+4)x+2m]
因此2mk=n？

追答

f(x)f(1/x)=k
然后把各自的分母移到对面和分子乘在一起展开
nx²+(n²+1)x+n=k[2mx²+(m²+4)x+2m]
需要各同次幂项系数相等
所以2mk=n ①
k(m²+4)=n²+1 ②
把①n=2mk代入②
k(m²+4)=4m²k²+1
m²k(4k-1)=4k-1
要上面这个式子对于任何m都相等,有两种可能
k=1/4
k=1/m²
如果k=1/m²
那么n=2mk=2/m >> mn=2 所以舍去k=1/m²
因此k=1/4
代入①
得出m=2n
所以f(x)=(nx+1)/(2x+2n)
f(1)=1/2
f(f(1))=f(1/2)=(n+2)/(2+4n)=k/2
8n+16=2+4n
n=-7/2
m=-7

Answer 2

1. k=1/4

2. 由1知  m=2n  令x=1 得f[f(1)]=1/8  带入m=2n  得n=-2/7  m=-1/7
   

追问

为什么我算完n=-1或-7/2呢？