Question

线性代数一道题（如图）？

B,C区别何在？没想通

Answer 1

Ax=0是一定有解的，要么只有零解，要么有无数组解。
关于B，C的区别
对于B，AX=b有无数组解，则r(A)=r(Ab)
小于未知数的个数，所以Ax=0也必有无数组解。
对于C，Ax=0有唯一解，但Ax=b可能无解。事实上，当r(A)<r(Ab)时，Ax=b就无解。但如果r(A)=r(Ab)，则Ax=b也有维一解。

追问

如果说AX=0有唯一解，那么|A|≠0。
这样的话AX=b也满足这个条件，那不就是唯一解了？
懵

Answer 2

Ax=β有无穷多解，任意抓两个解相减，结果一定是Ax=0的解。所以Ax=0一定无穷多解。
Ax=0有唯一解，那么这个解一定是0解。也就是A的列向量组线性无关。但是线性无关未必就一定能线性表示β，所以Ax=β未必有解。

Answer 3

B

BC不是互为逆否命题，因为除了唯一解，无穷多解之外，还有无解的情况。有解和无解才是互否。