Question

求条件极值？

f(x,y,z)=xy+yz+zx, x^2+y^2+z^2=1;
求f(x,y,z)的最小值

Answer 1

f(x,y,z)=xy+xz+yz=[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]/2=[(x+y+z)^2-1]/2>=-1/2
f(x,y,z)=xy+xz+yz最小值=-1/2
此时x+y+z=0
比如：x=1/(根号2)，y=-1/(根号2)，z=0等等

Answer 2

解，x^2+y^2+z^2
=1/2(x^2+y^2)+1/2(x^2+z^2)+1/2(y^2+z^2)
≥xy+xz+yz同样≥(-xy-xz-yz)
则f(x，y，z)≤1
同理，f(x，y，z)≥-1

追问

取-1时，x,y,z的值取不到

Answer 3

f（x，y，z）=（x+y）²/2+（x+z）²/2+（z+y）²/2-（2x²+2y²+2z²）/2=（x+y）²/2+（x+z）²/2+（z+y）²/2-1，极小值-1

追问

x+y, x+z, z+y 在条件 x^2+y^2+z^2=1下 不可能同时为0

追答

哎呀，忘记这个条件了。