Question

假设检验

Answer 1

(一)假设检验的基本思想

统计假设检验就是为了推断某个问题,事先做出一种假设。然后用一个实测样本数据计算出某一个适合的、已知其分布的统计量,并通过查表得出其相应的临界值。再用实测样本数据计算出来的关于统计量与其临界值进行比较,从而得出肯定(接受)原假设或否定(拒绝)原假设的结论,达到统计推断之目的,下面举例说明。

[例8-4]在某测区的海西期第二阶段中粗粒黑云母花岗岩(

)中进行γ测量,测得300个数据,经计算平均照射量率

=35γ,标准差s=8γ。又在同一测区的海西期第三阶段细粒黑云母花岗岩(

)中测得80个数据,其平均照射量率

=37γ,标准差S=8.2γ,问这两种花岗岩的放射性γ照射量率有无显著性差异？能否把这两种花岗岩在统计上看成同一总体?

解：假定这批γ照射量率数据都服从正态分布。此例中,300个数据是很大的样本,可以把它看成总体,故可用300个数据的平均数与标准差当作总体的均值与标准差,即μ=35γ,σ=8γ,80个观测数据仍看成是样本。由于样本标准差s=8.2γ与总体标准差相差甚小。因此,只需检验样本平均数

=37γ与总体平均值μ=35γ是否有显著性差异。若差异显著,则认为这种花岗岩不是同一个总体,若差异不显著,就认为两种花岗岩属于同一总体。所以,又称这种统计假设检验为显著性检验。具体步骤如下：

(1)假设H₀

与μ无显著性差异,即两种花岗岩属于同一个总体。于是样本平均值

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其中：μ=35(γ),σ=8(γ),

=0.89(γ)。

(2)构造一个统计量u

先将样本平均数标准化,即

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式(8-21)中的统计量u服从标准正态分布,即u～N(0,1)。

(3)确定临界值

给定信度α=0.05,则由附录一查出F(u)=1－α/2=0.975所对应的u_α=1.96,故有

P{－1.96＜u＜1.96}=1－α=0.95

即

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或

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其中33.26γ与36.74γ是临界值,而区间(33.26,36.74)是肯定域。区间以外为否定域。这就是说,样本平均数

x落在区间(33.26,36.74)内,即肯定域内,此时称发生了概率为95%的大概率事件,可肯定原假设；若样本平均数落在该区间以外,即否定域内,此时称发生了概率为5%的小概率事件,可否定原假设。

(4)计算实测样本平均数

由于实测样本平均数

=37γ＞36.74γ,落在区间以外,即否定域内,故否定原假设H₀,认为样本平均数

x与总体均值μ差异显著。因此两种

与

在γ照射量率上有显著性差异,不属于同一总体。若要进行底数统计,则应分别进行统计。

(二)差异的显著性与信度(显著性水平)

上例的统计推断性结论是在信度(显著性水平)α=0.05的条件下做出的。如果将信度α定得小一些,那么做出的统计性结论就有可能改变。比如α=0.01,由附录一可查出F(u)=1－α/2=0.995所对应的u临界值u_α=2.58,故有

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或

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在这种情况下,临界值为32.7γ与37.3γ,故区间(32.7,37.3)为肯定域。而实测样本

=37＜37.3,应肯定原假设H₀：认为样本平均数

与总体均值μ无显著性差异。因此把两种花岗岩(

与

)看成是同一总体,若要进行底数统计,这两种岩性不必分开。

显而易见,信度α如何选择,直接影响到差异是否显著的结论。可见,任何差异是否显著的推断都是在一定的信度(显著性水平)α下做出的。α定得越大,肯定域就小,但推断的可靠性差(即置信概率小)。反之,α定得愈小,肯定域就愈大,推断的可靠性强(置信概率大)。放射性物探工作中所要进行的统计假设检验,一般将信度α定为0.05或0.01较为恰当,此时置信概率分别为95%与99%。

(三)统计假设检验的分类

统计假设检验可分为两大类,即参数性方法与非参数性方法,就是假定总体的分布型式已知(经常假定为正态分布),只要对参数进行检验即可。非参数性方法,则不管总体的分布如何,都能应用。

参数性方法又可分为大样本与小样本推断两种。一般当n＞30～50时,可称为大样本,凡属大样本一律可按正态分布处理。

(四)分布型式的检验

放射性物探工作中经常要统计各种底数。进行底数统计之前,就要对观测数据进行分布型式的检验,以确定观测数据服从何种概率分布,并采用相应的底数与标准差的计算方法。当然根据频率分布直方图的形状也大致可以看出其分布型式,但这是不严格的,需要进行检验。检验的方法很多,下面介绍几种方法：

1.偏度、峰度检验法

这是一种检验概率分布是否属于正态分布的参数性方法,要求有大样本(n＞100)。此种检验方法中要用的两个统计量C_S(偏度)与C_E(峰度),其计算公式已在本项目学习任务一中给出。

当总体服从正态分布时,若样本为大样本(n＞100),则统计量C_S、C_E近似服从正态分布,即C_S～N(0,6/n),C_E～N(0,24/n)。

现以本项目学习任务一某花岗岩体的228个γ测量数据为例,说明如何用偏度系数和峰度系数法检验分布型式的方法。

[例8-5]用偏度系数和峰度系数法检验表8-1中某地区γ普查数据是否服从正态分布,给定信度α=0.05。

(1)假设H₀

该地区γ照射量率数据服从正态分布。又因样本容量n=228,为大样本,故

C_S～N(0,6/228),C_E～N(0,24/228)

将这两个参数标准化,有

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经过标准化变换以后,公式(8-22)和公式(8-23)都服从标准正态分布N(0,1)。

(2)计算标准化后的概率区间

在α=0.05下,查得F(u)=1－α/2=0.975所对应的u_α=1.96,故有

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即

P{－0.32＜C_S＜0.32}=0.95

故C_S的临界值为－0.32和0.32,即区间(－0.32,0.32)为肯定域,其外为否定域。

同样对于C_E,有

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即

P{－0.64＜C_E＜0.64}

故C_E的临界值为－0.64和0.64,即区间(－0.64,0.64)为肯定域,其外为否定域。

(3)计算样本的C_S和C_E

根据实测数据可用列表法求取偏度系数C_S和峰度系数C_E,见表8-5。

表8-5 某地区放射性测量γ射线照射量率(γ)偏度系数和峰度系数计算表

续表

根据表8-5计算C_S和C_E,步骤如下：

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三阶中心矩(M₃)和四阶中心矩M₄计算如下：

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于是

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(4)比较

将由实测样本计算的C_S和C_E与其临界值进行比较,可见样本的C_S=0.0903和C_E=－0.5921都落在肯定域内,故肯定原假设,认为该地区的γ射线照射量率符合正态分布。

2.正态概率格纸检验法

显然上述检验方法比较麻烦,计算工作量较大,而且要求是大样本。在本项目学习任务二曾指出,在正态概率格纸上做出的正态分布的累积概率曲线为一条直线。因此便可根据画在正态概率格纸上的实测样本数据的诸(x_i,F_i)点是否基本在一条直线上,来检验该批数据是否符合正态分布。其中x_i为实测样本分组数据的组上限,F_i为其累积频率。这种检验方法称为正态概率格纸检验法。

下面仍然以某地区花岗岩228个γ照射量率数据为例,说明其检验方法。

[例8-6]使用表8-1的数据,用正态概率纸法检验某地区γ普查数据是否符合正态分布。

解：以表8-1中的累积频率为纵坐标,将数据分组值(组上限)为横坐标,在正态概率格纸上打点,即A(21.5,1.32)、B(25.5,7.46)、C(29.5,20.64)、D(33.5,41.23)、E(37.5,64.64)、F(41.5,82.64)、G(45.5,94.74)、H(49.5,98.25)；然后用直尺画一条直线,尽可能将各点联结起来,如图8-9所示,其做法与用累积频率展直线法求正常值的做法相同。

由图8-9可见,这些点基本落在一条直线上,因此该批数据服从正态分布,这与用偏度、峰度检验法得出的结论相同。由图8-9还可见到,有些点与直线有些偏差,这是允许的,但是偏差不能太大。偏差太大,则不一定属于正态分布。一般说来,中间的点(即靠近累积频率为50%横线附近的点)偏差不能太大,两端的点偏差可以适当大一点。究竟偏离多远可认为是允许的,需绘制一定信度α下的临界曲线,见图5-5所示,以此作为衡量的标准。临界值曲线的画法请参阅有关书籍。

3.χ²检验法

χ²检验不但可以检验正态分布,还可以检验泊松分布、二项分布、负二项分布、指数分布等的分布型式。

(1)理论原理

这是在总体x为未知时,根据它的n个观测值x₁,x₂,…,x_n来检验关于总体分布的假设

H₀：总体x的分布函数为F(x)　(8-24)

的一种方法。

注意,若总体分布为离散型,则假设式(8-24)相当于

H₀：总体x的分布律为P{x=t_i}=p_i(i=1,2,…)　(8-25)

若总体分布函数为连续型,则假设式(8-24)相当于

H₀：总体x的概率密度为f(x)　(8-26)

式(8-24)～式(8-26)是χ²检验的理论模型表达式。

在用下述χ²检验法检验假设H₀时,要求在假设H₀下F(x)的分布型式及其参数都是已知的。但实际上参数往往是未知的,这时,需要先用极大似然法估计参数,然后做检验。

χ²检验法的基本思想是：把随机实验结果的全体S分为k个互不相容事件A₁,A₂,…,A_k(A₁∪A₂∪…∪A_k=S,A_iA_j=ϕ,i≠j；i,j=1,2,…,k)。于是,在假设H₀下,我们可以计算理论频率p_i=P(A_i)(i=1,2,…,k)。显然,在n次试验中,事件A_i出现的频率

/n与p_i有差异。一般来说,若H₀为真,则这种差异并不显著；若H₀为假,这种差异就显著。基于这种想法,皮尔逊(pearson)使用统计量

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作为检验理论(即假设H₀)与实际符合的尺度。并证明了如下的定理：若n充分大(n≥50),则不论总体属于什么分布,统计量式(8-27)总是近似地服从自由度为k－r－1的χ²分布。其中,r是被估计参数的个数。

于是,若在假设H₀下算得皮尔逊统计量的值,即式(8-27),有

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则在显著性水平α下拒绝H₀；若式(8-28)中不等号反向,就接受H₀。

χ²检验的具体步骤是：

把实轴分为k个互不相容的区间[α_i,α_i+1](i=1,2,…,k),其中α_i,α_i+1可分别取－∞,+∞。区间的划分方法视具体情况而定。

其次,计算概率

p_i=F(α_i+1)－F(α_i)=P{α_i＜x≤α_i+1}　(8-29)

此处,F(x)由式(8-29)确定。然后算出p_i与样本容量n的乘积np_i称为理论频数。

同时,计算样本观察值x₁,x₂,…,x_n在区间(α_i,α_i+1]中的个数

(i=1,2,…,k),称为实际频数。

然后,将

和p_i的值代入式(8-27),算出χ²的值。于是对于给定的显著性水平α,按式(8-28)做出拒绝还是接受H₀的判断。

χ²检验法是在n无限增大时推导出来的,所以在使用时必须注意n要足够大,以及npi不太小这两个条件。根据经验,要求样本容量n不小于50,当n刚刚大于50附近时,npi最好在5以上,在n大于100时npi最好取10以上,否则应当适当的合并区间(或Ai),使npi满足这个要求。特别是在边部小概率事件下要进行适当地并组,这样可以有效的压低边部“干扰”,突出数据中部的“有用信号”。

下面通过实例来说明检验的过程。

(2)应用实例

[例8-7]试用χ²检验的办法检验某地区闪长岩钍含量是否服从对数正态分布(取α=0.05)。原始数据单位为10^－6,取常用对数以后的统计结果见表8-6。

表8-6 某地区闪长岩钍含量对数值统计表

解：为方便起见,根据表8-6所整理的结果来做检验。因参数都是未知的,故应用极大似然估计法估计μ、

得,

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注意：这里的

表示μ的估计值,所以它与

是相等的。

估计

时,如果是手算,则利用公式(8-7),得

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注意,公式中的n=110,为样品容量；k为分组数,表示并组后的组数。这里对第1～3和13～15组进行了并组,故k=11。对于分组时两头的小组实行并组是为了有效地减小偶然误差。

所以,我们要检验的假设为

H₀：x～N(0.7509,0.2484²)

为便于计算np_i,应先做变换u=(x－0.7509)/0.2484。化x为标准正态变量u,与正态分布概率纸检验法一样,查出各个u之下的累积频率,算出区间频率、频数,这些都是理论值。如表8-7所示。

表8-7 某区闪长岩钍含量对数正态分布χ²检验表

标准正态分布表中查出的是累积频率F(u)；每一个区间频率为该区间累积频率与上一个区间累计频率之差；n=110,为样品容量,而非分组组数,故np_i表示理论频数；

为实际频数；最后是皮尔逊统计量。

由于并组后组数k=11,估计了两个参数(

,

),于是r=2；故自由度k－r－1=8,查χ²分布表(见附录二),得

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故在水平α=0.05下接受H₀,认为该地区岩石钍含量符合对数正态分布,并且钍含量对数

=0.7509,对数均方差^σ=0.2484；对应的Th含量是5.64×10^－6,Th含量均方差为1.77×10^－6。

通过上例可见,用χ²检验法(或其他检验方法)得到的结果往往较概率纸精确。特别是,有的检验法(如χ²检验法)能控制犯第一类错误的概率α,这是概率纸所做不到的。但概率纸使用方便,无须太多的计算,因此,概率纸常用来初步估计总体的分布类型及参数的一次近似之用。然后用χ²检验法(或距离计算法、偏度系数和峰度系数检验法等)进一步做精确的检验。

(五)平均数的对比(U检验和t检验)

由本项目学习任务二正态分布的介绍,可知正态分布有两个重要参数,一个是均值μ,另一个是标准差σ。当μ与σ确定后,正态分布N(μ,σ)就完全确定了；且在一般情况下,标准差σ比较稳定。要检验两个正态分布是否相同,或者说,两个正态分布的样本是否属于同一总体,只要对均值μ做检验,这就是平均数对比的实质。放射性物探工作中要经常遇到某些元素的含量,放射性γ照射量率等的对比问题,仪器的“三性”检查工作中也要碰到类似的问题。

设从两个正态总体N(μ₁,

)、N(μ₂,

)中分别抽取容量为n₁及n₂的两个样本,其平均数分别记为

及

。当总体方差σ²未知时,由于要用样本方差s²去估计总体方差σ²,故做检验时,大样本与小样本是不相同的。因此,有大样本的平均数对比U检验,小样本的平均数对比t检验之分。

1.大样本平均数的对比——U检验

当两个样本为大样本,即n₁＞30,n₂＞30时,由本任务可知,两样本的平均数

、

,服从于N

与N

的正态分布。而其差值

则服从于N

的正态分布。前已假定方差比较稳定,因而有

,于是

服从N

的正态分布。

U检验的步骤如下：

(1)假设H₀

μ₁=μ₂,于是

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将

进行标准化变换,令

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那么新变量U服从标准正态分布,即U～N(0,1),U就是检验中要用的统计量,可查F(u)表(见附录一),故称为U检验。

(2)确定临界值

若选定信度α=0.05,则从F(u)反查u值表中根据F(u)=1－

=0.975查出u的临界值u_α=1.96。于是U位于区间(－1.96,1.96)的概率为95%,即P(－1.96＜u＜1.96)=0.95。也就是说在α=0.05的条件下U的肯定域为区间(－1.96,1.96)。可见|U|＞1.96为其否定域。

(3)比较

计算实测样本的U值,与临界值u_α进行比较。若|U|＞u_α,则否定原假设；若|U|＜u_α,就肯定原假设。

为了计算实测样本的U值,必须知道总体的标准差σ。若σ已知,则无论大、小样本都可用U检验进行假设检验。若σ未知,则要用两样本标准差s₁、s₂的加权平均值来估计总体标准差σ,即用

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代替σ,于是

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式(8-31)就是计算的U值,下面举例说明。

[例8-8]在某一斑状黑云母花岗岩地段进行放射性γ照射量率测量。测得169个数据(n₁),平均照射量率

=31.7γ,标准差s₁=2.5γ。后又在其相邻地段测得γ照射量率数据99个(n₂),平均照射量率

=28.8γ,标准差s₂=2.6γ。那么这两地段可否看成同一总体或同一岩性?

解：经过分布型式检验,两样本γ照射量率数据均服从正态分布,两样本标准差又近似相等,且都是大样本。显然可用U检验对两地段的平均数进行对比。将数据代入公式(8-31),可算出实测样本U值,即

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取信度α=0.05,查附录一,得U的临界值u_α=1.96。而实测样本U=9.034＞u_α=1.96,故否定原假设H₀,认为斑状黑云母花岗岩地段与其相邻地段不是同一总体,或者说,不是属于同一岩性。后经地质调查证实岩性为细粒二云母花岗岩,这两种花岗岩的结构不同,成分不同,侵入时代也不相同。

2.小样本平均数的对比——t检验

当两个样本中,只要有一个为小样本时,即n₁与n₂中有一个小于30,用样本方差s²去估计总体方差时,要用无偏估计量,即

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在这种情况下得不出新变量u服从标准正态分布的结论。因此也就不能用上述U检验的方法进行检验。用两个样本方差

、

来估计总体σ²时必须用公式

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来代替σ,这时要构造一个新的统计量t。t不像两个大样本的情况下要服从标准正态分布,而服从自由度f=n₁+n₂－2的t分布,或称学生(Student)分布。

当给定了信度α,如α=0.05,且自由度f=n₁+n₂－2为已知时,可在t分布临界值t_α表中(见附录三)查出临界值t_α。其否定域为|t|≥t_α。

[例8-9]在同一地点、相同条件下用两台γ能谱仪进行测量。第一台仪器测量10次,测得铀含量(10^－6)x₁分别为3.5、3.2、3.0、3.1、3.2、3.3、3.3、3.2、3.1、3.2,平均铀含量

=3.21×10^－6,标准差s₁=0.137×10^－6；第二台仪器测量12次,测得铀含量(10^－6)x₂分别为3.1、3.5、3.3、3.2、3.4、3.4、3.5、3.6、3.1、3.4、3.5、3.3,平均铀含量

=3.358×10^－6,标准差s₂=0.162×10^－6。问两台仪器测量结果是否一致?

解：因为

,这实际上是平均数对比问题。

1)假设H₀,两台仪器读数的均值相等,即

μ₁=μ₂

2)计算实测样本统计量t：

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3)比较：

若取信度α=0.05,查t分布表(见附录三),其自由度f=n₁+n₂－2=20时,查得t的临界值t_α/2=2.08。因为|t|=2.285＞t_α/2=2.08,所以否定原假设H₀,μ₁≠μ₂,认为两台仪器读数的平均值差异显著,故两台仪器的一致性不好。

(六)方差对比——F检验

在平均数对比中,检验两个总体均值是否相同(无论大样本或小样本)之前,都应先假定被检验的两个总体服从正态分布,且方差相等。如果不能肯定方差基本相等则需先进行方差检验。只有当方差无显著性差异后,方可进行平均数的对比；否则,就不必进行平均数对比了,因为方差差异显著,已可认为两者不是同一总体了。

假设从两个正态总体N(μ₁,

)、N(μ₂,

)中,各抽取大小分别为n₁、n₂的样本。求出两样本之方差：

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通过对比两样本方差

与

来推断两个总体

与

间有无显著性差异。为此要构造一个“方差比”的统计量F,即

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统计量F服从第一自由度f₁=n₁－1、第二自由度f₂=n₂－1的F分布。当给定信度α后。且第一自由度f₁与第二自由度f₂为已知时,可从F分布临界值表中(见附录四)查出临界值F_α。本来当信度为α时,F检验的否定域为左右两边各取面积为α/2的两部分(图8－10)。但为了制表省略起见,F分布临界值表中,往往只给出F＞l的右边临界值。因此,当给定了信度α,并已知第一自由度f₁与第二自由度f₂的情况下,查附录四时实际得出的是F_α/2值,这样在计算样本方差比F值时,就要使得F永远大于1。为此总是把两方差

与

中较大的一个放在分子上。若根据样本计算出的F＜临界值F_α/2,则为肯定域；若F＞F_α/2,就是否定域。

图8-10 F分布概率密度曲线图

[例8-10]用例8-9中两台仪器在同一地点观测的数据为准,用F检验的办法检验这两台能谱仪的方差有无显著差异。已知α=0.10。

解：设

与

分别表示第一台仪器和第二台仪器读数的总体方差。

1)假设H₀：

2)计算方差比：

第一台仪器10次测量和第二台仪器12次测量的均方差分别是s₁=0.137×10^－6和s₂=0.162×10^－6,直接代入公式(8-33)中,得

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3)确定临界值F_α：

已知α=0.10,第一自由度f₁=10－1=9,第二自由度f₂=12－1=11,查附录四,得F_α/2=F(0.05)=2.27。

4)比较：

由于两个样本的方差比F=1.398＜Fα=2.27,落在肯定域内,故肯定原假设H₀：

,即两台仪器读数的总体方差无显著差异。于是可进一步对两台仪器读数的平均值进行检验,以确定两台仪器的一致性是否符合要求。