Question

求[ln(x+√(1+x²)]/(1+x²)^3/2不定积分

[ln(x+√(1+x²)]/(1+x²)^3/2

Answer 1

∫ ln[x+√(1+x^2)]/ (1+x^2)^(3/2) dx

x= tanu

dx = (secu)^2 du

∫ ln[x+√(1+x^2)]/ (1+x^2)^(3/2) dx

=∫ { ln(tanu +secu)/ (secu)^3 } [ (secu)^2 du]

=∫ [ ln(tanu +secu)/ secu ] du

=∫ cosu [ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] du

=∫ [ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] dsinu

= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] - ∫ sinu.[ cosu/(sinu +1) + sinu/cosu ] du

= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] - ∫ [sinu/(sinu +1)] dsinu - ∫ [1- (cosu)^2]/cosu du

= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] - ∫ [ 1- 1/(sinu +1)] dsinu - ∫ (secu- cosu ) du

= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] - [ sinu- ln|sinu +1| ] - ln|secu+tanu| +sinu + C

= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] + ln|sinu +1| ] - ln|secu+tanu| + C

= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] + ln|(sinu +1)/(secu+tanu)| + C

= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] - ln|cosu| + C

=[x/√(1+x^2)] . [ ln(x/√(1+x^2) +1) +(1/2)ln(1+x^2) ] + (1/2)ln(1+x^2) + C

x= tanu

sinu = x/√(1+x^2)

cosu =1/√(1+x^2)

扩展资料：

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。

参考资料来源：百度百科——不定积分

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示

Answer 3

∫ ln[x+√(1+x^2)]/ (1+x^2)^(3/2) dx
x= tanu
dx = (secu)^2 du
∫ ln[x+√(1+x^2)]/ (1+x^2)^(3/2) dx
=∫ { ln(tanu +secu)/ (secu)^3 } [ (secu)^2 du]
=∫ [ ln(tanu +secu)/ secu ] du
=∫ cosu [ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] du
=∫ [ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] dsinu
= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] - ∫ sinu.[ cosu/(sinu +1) + sinu/cosu ] du
= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] - ∫ [sinu/(sinu +1)] dsinu - ∫ [1- (cosu)^2]/cosu du
= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] - ∫ [ 1- 1/(sinu +1)] dsinu - ∫ (secu- cosu ) du
= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] - [ sinu- ln|sinu +1| ] - ln|secu+tanu| +sinu + C
= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] + ln|sinu +1| ] - ln|secu+tanu| + C
= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] + ln|(sinu +1)/(secu+tanu)| + C
= sinu.[ ln(sinu +1) - ln|cosu| ] - ln|cosu| + C
=[x/√(1+x^2)] . [ ln(x/√(1+x^2) +1) +(1/2)ln(1+x^2) ] + (1/2)ln(1+x^2) + C
where
x= tanu
sinu = x/√(1+x^2)
cosu =1/√(1+x^2)

Answer 4

Answer 5

令 x = tanu，
I = ∫ln(tanu+secu)(secu)^2du/(secu)^3
= ∫cosuln(tanu+secu)du = ∫ln(tanu+secu)dsinu
= sinuln(tanu+secu) - ∫sinu[(secu)^2+secutanu]du/(tanu+secu)
= sinuln(tanu+secu) - ∫sinusecudu
= sinuln(tanu+secu) - ∫sinudu/cosu
= sinuln(tanu+secu) + ln|cosu| + C
= xln[x+√(1+x^2)]/√(1+x^2) - (1/2)ln(1+x^2) + C