二元泰勒公式
用多个变量的一个多项式来近似表达一个给定的多元函数，并能具体的估算出误差的大小。
定义：函数 f(x,y)f(x,y) 在含 (x0,y0)(x0,y0) 的某一邻域内连续且有直到 n+1n+1 阶的连续偏导数，(x0+h,y0+k)(x0+h,y0+k) 为此邻域内一点，则有
f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+h⋅∂∂x+k⋅∂∂y1!f(x0,y0)+(h⋅∂∂x+k⋅∂∂y)22!f(x0,y0)+...+(h⋅∂∂x+k⋅∂∂y)nn!f(x0,y0)+RnRn=(h⋅∂∂x+k⋅∂∂y)n+1(n+1)!f(x0+θh,y0+θk),0<θ<1f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+h⋅∂∂x+k⋅∂∂y1!f(x0,y0)+(h⋅∂∂x+k⋅∂∂y)22!f(x0,y0)+...+(h⋅∂∂x+k⋅∂∂y)nn!f(x0,y0)+RnRn=(h⋅∂∂x+k⋅∂∂y)n+1(n+1)!f(x0+θh,y0+θk),0<θ<1
类比于一元泰勒公式，每个多项式有两部分构成，一部分是包含偏导数的系数部分，另一部分是 x−x0,y−y0x−x0,y−y0 的幂次项。
上面的定义式不太直观，在这个公式中多了很多交叉的项，如果只写到二阶，则形式如下：
f(x,y)=f(x0,y0)+f′x(x0,y0)(x−x0)+f′y(x0,y0)(y−y0)+f′′xx(x0,y0)2!(x−x0)2+f′′xy(x0,y0)2!2(x−x0)(y−y0)+f′′yy(x0,y0)2!(y−y0)2+Rnf(x,y)=f(x0,y0)+fx′(x0,y0)(x−x0)+fy′(x0,y0)(y−y0)+fxx″(x0,y0)2!(x−x0)2+fxy″(x0,y0)2!2(x−x0)(y−y0)+fyy″(x0,y0)2!(y−y0)2+Rn
或者是写成下面的形式
f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+f′x(x0,y0)h+f′y(x0,y0)k+f′′xx(x0,y0)2!h2+f′′xy(x0,y0)2!2hk+f′′yy(x0,y0)2!k2+Rnf(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+fx′(x0,y0)h+fy′(x0,y0)k+fxx″(x0,y0)2!h2+fxy″(x0,y0)2!2hk+fyy″(x0,y0)2!k2+Rn
下面来看下这个一长串的定义式是怎么推导出来的：
我们是利用一元泰勒公式来推导的，引入一元函数：
Φ(t)=f(x0+ht,y0+kt),0≤t≤1Φ(t)=f(x0+ht,y0+kt),0≤t≤1
当 t=1t=1 时，就得到 Φ(1)=f(x0+h,y0+k)Φ(1)=f(x0+h,y0+k)。
对 Φ(t)Φ(t) 求导，有
Φ′(t)=hf′1+kf′2=h∂f∂x+k∂f∂y=(h∂∂x+k∂∂y)fΦ′(t)=hf1′+kf2′=h∂f∂x+k∂f∂y=(h∂∂x+k∂∂y)f
Φ′′(t)=h2f′′11+2hkf′′12+k2f′′22=h2∂2f(∂x)2+2hk∂2f∂x∂y+k2∂2f(∂y)2=(h∂∂x+k∂∂y)2fΦ″(t)=h2f11″+2hkf12″+k2f22″=h2∂2f(∂x)2+2hk∂2f∂x∂y+k2∂2f(∂y)2=(h∂∂x+k∂∂y)2f
Φ′′′(t)=h3f′′′111+3h2kf′′′112+3hk2f′′′122+k3f′′′222=(h∂∂x+k∂∂y)3fΦ‴(t)=h3f111‴+3h2kf112‴+3hk2f122‴+k3f222‴=(h∂∂x+k∂∂y)3f
当 t=0t=0 时，得到
Φ(0)=f(x0,y0)Φ(0)=f(x0,y0)
Φ′(0)=(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)Φ′(0)=(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)
Φ′′(0)=(h∂∂x+k∂∂y)2f(x0,y0)Φ″(0)=(h∂∂x+k∂∂y)2f(x0,y0)
代入
Φ(t)=Φ(0)+Φ′(0)t+Φ′′(0)2t2+Φ′′′(θ)6t3Φ(t)=Φ(0)+Φ′(0)t+Φ″(0)2t2+Φ‴(θ)6t3
得
Φ(t)=f(x0,y0)+(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)⋅t(h∂∂x+k∂∂y)22f(x0,y0)⋅t2(h∂∂x+k∂∂y)36f(x0+hθ,y0+kθ)⋅t3Φ(t)=f(x0,y0)+(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)⋅t+(h∂∂x+k∂∂y)22f(x0,y0)⋅t2(h∂∂x+k∂∂y)36f(x0+hθ,y0+kθ)⋅t3
所以有：
Φ(1)=f(x0,y0(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)⋅(h∂∂x+k∂∂y)22f(x0,y0)⋅(h∂∂x+k∂∂y)36f(x0+hθ,y0+kθ)⋅
泰勒公式的使用条件
极限必须都是存在的
泰勒公式的使用条件是极限必须都是存在的。在数学中，泰勒级数是用无限项连加式，也就是级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
f(x)=f(0)+f`bai(0)x就是一阶。
f(x)=f(0)+f`(0)x+f``(0)x^2/2!就是二阶泰勒展开式。
简单的说 多项式存在f(n个`)(0)x^(n) / n!就是n阶泰勒展开式。
最后带上个余项，对于展开n项的泰勒式 皮雅诺余项是写o(x^n)。
导数决定了函数的形状。如果有四阶导数大于0，也能得到不带余项的三阶展开式大于0。但是当奇数次导数大于0，就不一定了。
f(x)在x0处的切线方程为 y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)。
因为f''(x)>0，函数为凹函数，所以函数图像总是在切线的上方。
f(x)>=y(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)。
泰勒公式
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。
泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。
f(x)=f(0)+f`bai(0)x就是一阶
f(x)=f(0)+f`(0)x+f``(0)x^2/2!就是二阶泰勒展开式
简单的说 多项式存在f(n个`)(0)x^(n) / n!就是n阶泰勒展开式
最后带上个余项，对于展开n项的泰勒式 皮雅诺余项是写o(x^n)
导数决定了函数的形状。如果有四阶导数大于0，也能得到不带余项的三阶展开式大于0。但是当奇数次导数大于0，就不一定了。
f(x)在x0处的切线方程为 y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)
因为f''(x)>0，函数为凹函数，所以函数图像总是在切线的上方。
f(x)>=y(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)
扩展资料：
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。
泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。
参考资料来源：百度百科-泰勒公式
二阶导数大于0，说明导函数是增函数，也就是原函数切线的斜率是越来越大的，你画下图像就知道了
上面分别是切线斜率大于0，切线斜率递增，和切线斜率小于0，切线斜率递增的情况，显然函数是在任一点切线的上方
大于等于号后面的式子相当于切线方程是这个意思吗
对的，后面那个是切线方程
其中,h为余项.
当f(x,y)2阶导数连续,x->a,y->b时,h是[(x-a)(y-b)]的高阶无穷小量.
人活一辈子，就活一颗心，心好了，一切就都好了，心强大了，一切问题，都不是问题。
人的心，虽然只有拳头般大小，当它强大的时候，其力量是无穷无尽的，可以战胜一切，当它脆弱的时候，特别容易受伤，容易多愁善感。
心，是我们的根，是我们的本，我们要努力修炼自己的心，让它变得越来越强大，因为只有内心强大，方可治愈一切。
没有强大的敌人，只有不够强大的自己
人生，是一场自己和自己的较量，说到底，是自己与心的较量。如果你能够打开自己的内心，积极乐观的去生活，你会发现，生活并没有想象的那么糟糕。
面对不容易的生活，我们要不断强大自己的内心，没人扶的时候，一定要靠自己站稳了，只要你站稳了，生活就无法将你撂倒。
人活着要明白，这个世界，没有强大的敌人，只有不够强大的自己，如果你对现在的生活不满意，千万别抱怨，努力强大自己的内心，才是我们唯一的出路。
只要你内心足够强大，人生就没有过不去的坎
人生路上，坎坎坷坷，磕磕绊绊，如果你内心不够强大，那这些坎坎坷坷，磕磕绊绊，都会成为你人生路上，一道道过不去的坎，你会走得异常艰难。
人生的坎，不好过，特别是心坎，最难过，过了这道坎，还有下道坎，过了这一关，还有下一关。面对这些关关坎坎，我们必须勇敢往前走，即使心里感到害怕，也要硬着头皮往前冲。
人生没有过不去的坎，只要你勇敢，只要内心足够强大，一切都会过去的，不信，你回过头来看看，你已经跨过了多少坎坷，闯过了多少关。
内心强大，是治愈一切的良方
面对生活的不如意，面对情感的波折，面对工作上的糟心，你是否心烦意乱？是否焦躁不安？如果是，请一定要强大自己的内心，因为内心强大，是治愈一切的良方。
当你的内心，变得足够强大，一切困难，皆可战胜，一切问题，皆可解决。心强则胜，心弱则败，很多时候，打败我们的，不是生活的不如意，也不是情感的波折，更不是工作上的糟心，而是我们内心的脆弱。
真的，我从来不怕现实太残酷，就怕自己不够勇敢，我从来不怕生活太苦太难，就怕自己不够坚强。我相信，只要我们的内心，变得足够强大，人生就没有那么多鸡毛蒜皮。
强大自己的内心，我们才能越活越好
生活的美好，在于追求美好的生活，而美好的生活，源于一颗强大的内心，因为只有内心强大的人，才能消化掉各种不顺心，各种不如意，将阴霾驱散，让美好留在心中。
心中有美好，生活才美好，心中有阳光，人生才芬芳。一颗阴暗的心，托不起一张灿烂的脸，一颗强大的心，可以美化生活，精彩人生，让我们越活越好。
生活有点欺软怕硬，如果你内心很脆弱，生活就会打压你，甚至折磨你，如果你内心足够强大，生活就会奖励你，眷顾你，全世界都会对你和颜悦色。
