Question

根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式

（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y=x+1上，并且图像经过点（3，-1）；
（2）已知二次函数的图像过点（-3,0），（1,0），且顶点到x轴的距离等于2；
（3）已知二次函数的图像过点（-1，-22），（0,-8），（2,8）。

Answer 1

1. 二次函数有最大值,那么开口向下 ,然后因为顶点在y=x+1 上,则设顶点为
(k,k+1)
设二次函数顶点式 y=a(x-k)^2+k+1,a<0
容易知道最大值为 ymanx =k+1 =2 ,k=1
所以 y=a(x-1)^2+2
图像经过（3，-1）代入得到 a=-3/4
所以y= -3/4(x-1)^2+2

2. 顶点到x轴的距离等于2,有两种情况
2-1 顶点为(k,2) ,那么开口一定向下
设两点式 y=a(x+3)(x-1) =a(x^2+2x-3) =a((x+1)^2-4)
顶点纵坐标为 -4a=2 ,a=-2
2-2 顶点为 (k,-2),开口向上
同理求得a=2

3.设函数一般 y=ax^2+bx-8 (经过点(0,-8)
将点(-1,-22),(2,8)代入得到
4a+2b=16
a-b=-14
解得a=-2
b=12
y=-2x^2+12x-8