Question

已知奇函数f(x)是R上的增函数,证明:若f(a)+f(b)+f(c)>0,则a+b大于0，b+c大于0，c+a大于0中至少有一个成立

已知奇函数f(x)是R上的增函数,证明:若f(a)+f(b)+f(c)>0,则a+b大于0，b+c大于0，c+a大于0中至少有一个成立。

Answer 1

【注：（1）因在R上，f(x)为奇函数，故对x∈R,恒有f(-x)=-f(x).(2)因在R上，函数f(x)递增，故当m≤n时，有f(m)≤f(n).由上两点可知，当m+n≤0时，====>m≤-n.===>f(m)≤f(-n),即有f(m)≤-f(n).===>f(m)+f(n)≤0.这即是说，当m+n≤0时，有f(m)+f(n)≤0.】证明：（反证法。）若不然，则有a+b≤0且b+c≤0且c+a≤0.故有f(a)+f(b)≤0,且f(b)+f(c)≤0,且f(c)+f(a)≤0.三式相加得：2[f(a)+f(b)+f(c)]≤0.===>f(a)+f(b)+f(c)≤0.这与已知矛盾。故原命题成立。

Answer 2

反证法

证明：

假设a+b≤0, b+c≤0, c+a≤0同时成立
则a≤-b, b≤-c, c≤-a
又∵f(x)在R上单调递增
∴f(a)≤f(-b), f(b)≤f(-c), f(c)≤f(-a)

∵f(x)是奇函数
∴f(a)=-f(-a),f(b)=-f(-b),f(c)=-f(-c)

∴2[f(a)+f(b)+f(c)]=f(a)-f(-a)+f(b)-f(-b)+f(c)-f(-c)
=[f(a)-f(-b)]+[f(b)-f(-c)]+[f(c)-f(-a)]≤0
∴f(a)+f(b)+f(c)≤0

与已知条件f(a)+f(b)+f(c)>0矛盾

故假设不成立
∴a+b>0，b+c>0，c+a>0中至少有一个成立

证毕

Answer 3

就是反证法