Question

判断反常积分的收敛性时为什么要分段证明，比如证明lnx/x^2从0到正无穷的反常积分的敛散性？

Answer 1

借用伽玛函数“Γ(α)=∫(0,∞)[x^(α-1)]e^(-x)dx，α>0时收敛”的性质求解。

设：lnx=t。

∴原式=∫(0,∞)te^[-(n-1)t]dt=[1/(n-1)²]∫(0,∞)te^(-t)dt=[1/(n-1)²]Γ(2)。

显然，n>1时，收敛；n=1时发散。

写成（0 1）和（1，+无穷）两个区间，其中一个做变量替换x=1/t，会发现正好互为相反数，和为0。

1/x（x+2）＜1/x2，在1到正无穷上收敛，在(0，1)，p＞1上发散。所以总体都发散。

1/x（x+2）＜1/x2，在1到正无穷上收敛，在(0，1)上为定积分也收敛。所以总体都收敛。

扩展资料：

反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限

而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数

而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大，且无穷大的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。

参考资料来源：百度百科-反常积分

Answer 2

因为当比较判别法的极限形式中l=0或+∞时，∫+∞ϕ(x)dxa和+∞∫af(x)dx的敛散性可以产生各种不同的的情况。

举例说明：

1、设在[a,+∞)上恒有0≤f(x)≤Kϕ(x)，其中K是正常数。则∫∫当+∞ϕ(x)dx收敛时+∞f(x)dx也收敛；aa∫∫当+∞f(x)dx发散时+∞ϕ(x)dx也发散。

2、设在[a,+∞)上有f(x)≥0,ϕ(x)≥0，且limx→+∞f(x)ϕ(x)=0。则当∫+∞af(x)dx发散时，∫a+∞ϕ(x)dx也发散；但当∫+∞af(x)dx收敛时，∫a+∞ϕ(x)dx可能收敛，也可能发散。

扩展资料：

反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度。当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛。当x→a+时，f(x)必为无穷大。且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛。

参考资料：百度百科—积分收敛