怎样证明一个函数为周期函数
证明f（x+T）=f（x）即可。
周期函数的判定方法分为以下几步：
（1）判断f（x）的定义域是否有界；
例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函数。
（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。
例：f（x）=cosx^2 是非周期函数。
（3）一般用反证法证明。（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而得出f（x）是非周期函数）。
例：证f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函数。
证：假设f（x）=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使之成立 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，
∴T=0与T≠0矛盾，
∴f（x）是非周期函数。
扩展资料：
对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。
事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
周期函数的性质共分以下几个类型：
（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。
若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
证：
先证f（ax+b）的周期。
∵T*是f（x）的周期，
∴f（x±T*）=f（x），有X±T*∈M，以ax+b替换x得，f（ax±T*+b）=f（ax+b），此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a（x+T*/a）+b]=f（ax+b）
∴T*/a是f（ax+b）的周期。
再证是f（ax+b）的最小正周期。
假设存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替换x，得f（x+T’）=f（x）
∴T’是f（x）的周期，但 T’<T*这与T*是f（x）的最小正周期矛盾。
∴不存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的周期，即f（ax+b）的最小正周期为T*/ a。
参考资料来源：百度百科——周期函数
抽象函数是相对于具体函数而言的,它没有给出具体的函数解析式.所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目,大多考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.而在实际教学中我感觉同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以先研究一下抽象函数的周期性问题.
预备知识: 对于函数定义域内的每一个x,若存在某个常数T(T≠0),使f(x+T)= f(x)总成立,则f(x)是周期函数.T是f(x)的一个周期.若T是f(x)的一个周期,则kT（k∈Z且k≠0）也是f(x)的周期
一. 抽象函数周期的求法.
由于抽象函数无具体的解析式,所以应根据周期函数的定义来解决.大致分为以下几个类型:
1.型如f(x+a)=f(x+b)（a≠b）
分析: 用替换思想将条件等式化成定义形式.将原等式中的x用x-a(或x-b)来替换.得f(x-a+a)=f(x-a+b)即 f(x)=f[x+(b-a)]
所以根据周期函数的定义得f(x)是周期函数且b-a是其一个周期.
若用x-b替换x得f(x)=f[x+(a-b)]
所以f(x)是周期函数且a-b是其一个周期.
2.型如f(x)=-f(x+a)（a≠0）
分析: 条件与定义相比多了一个负号,故可用替换和代入的方法变为定义形式。将原等式中的x用x+a替换
得f(x+a)=-f(x+2a)，代入原条件等式得f(x)=-[-f(x+2a)]=f(x+2a)
所以f(x)是周期性函数且2a是其一个周期.
3.型如f(x)=1/ f(x+a) （a≠0）
分析: 与上一类型相仿用替换和代入的方法得到周期函数定义的形式.将原条件等式中的x 用x+a替换得f(x+a)=1/ f(x+2a)代入原等式得f(x)=f(x+2a)
所以f(x)是周期函数,2a是其一个周期.
从以上可发现求周期，主要是用替换与代入的思想将原条件等式化成定义的形式得到周期.
二. 抽象函数周期性与函数的奇偶性,对称性的关系.
2001年全国高考的第22题第2问就涉及这方面的知识,仔细分析发现其结论可推广,在很多函数小题中有灵活运用.
1.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.
条件B: f(x)关于x=a对称
条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.
结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.
证明: ①已知A、B→ C （2001年高考第22题第二问）
∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)
又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)
∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是其一个周期
②已知A、C→B
∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)
又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)
∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称
③已知C、B→A
∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)
又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)
∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数
看来偶函数性质加上对称性可推出同期性。那么奇函数是不是也可以呢？经分析可得：
2.定义在R上的奇函数f(x)关于x=a对称，则f(x)是周期函数，4a是其一个周期。
证明：∵定义在R上的奇函数f(x) ∴f(-x)=-f(x)
又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)
∴f(x)=-f(x+2a)再根据周期求法中的第二类型可得f(x)=f(x+4a) （替换+代入）故f(x)是周期函数，4a是其一个周期。
奇函数本身是一个中心对称图形，关于原点对称那么若f(x)关于x轴上另一点线中心对称，再加对称性是否也可推出周期性吗？经分析可得：
3 .f(x)关于(a、0)成中心对称且f(x)关于x=b成轴对称（a≠b），则f(x)是周期函数且4(b-a)是其一个周期。
若f(x)关于x轴上的两个点成中心对称呢？
4.定义在R上的f(x)关于（a、0）和（b、0）都成中心对称则f(x)是周期函数且2(b-a) 是一个周期。
证明：∵定义在R上的f(x)关于（a、0）成中心对称∴f(-x)=-f(x+2a)
又∵定义在R上的f(x)关于（b、0）成中心对称∴f(-x)=-f(x+2b)
∴f(x)是周期函数且2(b-a) 是其一个周期
将原条件换成关于x=a，x=b对也行，结论成立。
综上可知函数的周期性、对称性、奇偶性之间的关系相当紧密，灵活运用可简化题目难度。
例1． f(x) 是R上的奇函数f(x)=- f(x+3) ，x∈[0，3/2]时f(x)=x，则 f(2003) =？
解：方法一 ∵f(x)=- f(x+3) （替换、代入）∴f(x)= f(x+6)
∴6是f(x)的一个周期 f(x)
∴f(2003)= f(334*6-1)=f(-1)=-f(1)=-1
方法二∵f(x)=-f(x+3)，f(x)是奇函数
∴f(-x)=f(x+3) ∴f(x)关于x=3/2对称 又∵f(x)是奇函数
∴6是f(x)的一个周期，以下与方法一相同。
例2． f(x)是R上的偶函数，f(1-x )=f(x+1)，x∈[-1，0]时 f(x)=Log0.5（-x）则f(2003)=？
解：∵ f(x)是偶函数，f(1-x)=f(x+1)（即f(x)关于x=1对称）
∴根据结论1得2是f(x)的一个周期
∴ f(2003)=f(2*1002-1)=f(-1)= Log0.5（1）=0
例3． f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。求a的值。
解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称
∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称
∴根据结论3得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0)
又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0)
又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6
年头很久了，不知对否？
