Question

线性代数向量空间问题

怎么得到维数为3的，一组基就3个吗

Answer 1

这是求一个齐次线性方程组的解空间的维数，齐次线性方程组的解空间的维数就是其基础解系中所含向量的个数，这你要先求出系数矩阵的秩，再用未知数的个数减去系数矩阵的秩，就是基础解系中所含向量的个数，也就是解空间的维数。
看不清你的方程组，但可以看到是5个未知数，所以如果你所求的系数矩阵的秩为2，则解空间的维数就是3了。

追问

为什么秩为2，维数为3

追答

如果秩为2，因为未知数为5，根据定理，基础解系就含有5-2=3个解向量，即解空间的维数为3。

追问

那它的基怎么求

我知道了

这个基是怎么得出的

追答

最好把矩阵化为行最简形，再对自由未知数取两组线性无关的值，代入就可以求出基础解系。你那个基也是对自由未知数取两组不同值得来的。

追问

化了呀，可是它的基为什么变成了（1，2，-1）

追答

那是错误的，基向量应该都是4维的。

如果你的行阶梯形没错，基应该是
（-1，1，0，0）T和（-5，-3，0，1）T

看错了，这是求矩阵的列空间的基，就是列向量组的一个极大无关组，从行阶梯形可知，一，三两列就是一个极大无关组，故为一组基。

追问

哦哦，懂了，谢谢啦