Question

【线性代数】向量β不能由α1，α2，α3线性表示，让求α2中的变量值

这是做习题时产生的疑惑，四个三维向量必定线性相关，而如果α1，α2，α3线性无关，则β应该可以被α1，α2，α3线性表示，题设β不能被线性表示，则意味着α1，α2，α3线性相关，则应该等价于其行列式等于0，所以只需要求满足行列式等于0的变量值就行，但是按照这样做下面这道题的时候错了，是这中间哪里有推导错误吗？书上也有例题是这么推导的呀，是条件不同吗？

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Answer 1

定理是：如果α1，...，αs是线性无关，而α1，...，αs，β线性相关，则β必可由α1，...，αs线性表示，且表示唯一。

但是：如果α1，...，αs是线性相关，而α1，...，αs，β线性相关，则β不一定可以由α1，...，αs线性表示。

这两个是否命题，而不是逆否命题，两者的合法性没有直接关系。所以通常情况下，只能用增广矩阵的方法。通过人为判断，使其成为无解，即Ax=b无解，即不可被线性表示。

但是如果是在做题的时候，尤其是选择题，填空题的时候，如果在α1，...，αs中只有一个向量中有未知参数a，或者说|α1，...，αs|得出来的关于a的式子是一次式，比如，|A|=a-2，那么就可以直接断定，答案就是2，因为，只有这一个选择。

但如果，出现类似|A|=(3-a)(a+1)的情形，则是上面的第二个命题的情形，a=3，α1，...，αs线性相关，a=-1，α1，...，αs线性相关，但都不能确定β可以由α1，...，αs线性表示。

Answer 2

行列式为0是必要条件，不是充分条件，即使a1,a2,a3线性相关，也可能能表示b，你根据行列式为0有很大可能是得到了增根

追问

那后面那道例题，为什么直接用行列式为0去解了呢，是题目隐含限制不会有增根吗，我感觉两个题目是一个类型的啊

追答

我没看到你拿道题，如果是一样的，至少得检验是否形成了增根。这又增根的可能不代表肯定有，所以也可能答案恰好对

追问

嗯嗯，这里是三张图片，后面有一张是相似题型，不过他的行列式解出只有一个值，可能是因为只有一个值，所以满足的条件只有一个可能，就自动排除了增根可能吧

追答

这种题目在假定有解，所以有一个解救ok，其实这是不严谨的，严谨的话是要证明的

Answer 3

r（A）≠r（增广A），a=3时这两个相等了要舍弃