Question

一道数学题！急！

是否存在二次函数同时满足f（-1）=0 （2）对一切实数x，都有x≤f（x）≤½（1+x²）？若存在，写出满足条件的f(x);若不存在，说明理由！

Answer 1

有的，是f(x)=0.25*(x+1)^2。这个函数比x大，比0.5*(1+x^2)小。

求解方法：
可以通过画图看到f(x)=x和f(x)=0.5*(1+x^2)这两条函数直线/曲线刚好在x=1，y=1这个点处相切。所以要求的函数一定也必须过f(1)=1这个点。所以针对目前已知的条件可以假设要求的二次函数为f(x)=ax^2+bx+c, 根据f(-1)=0和f(1)=1可以得出：a-b+c=0和a+b+c=1。要求解需要有第三个条件。下面有两种方法：
1.根据刚才说到的f(x)=x和f(x)=0.5*(1+x^2)这两条函数直线/曲线刚好在x=1，y=1这个点处相切，可知要求的函数不仅需要过f(1)=1这个点，而且需要在这个点与两个已知函数都相切，否则没有办法满足x≤f（x）≤½（1+x²）。所以，三个函数在x=1处的斜率（即导数）必须相等，为1。得到第三个关系式为2a+b=1。
2.如果中学生没有学过导数的话，还有以下这种方法得到第三个关系式：因为要满足x≤f（x）≤½（1+x²），所以也意味着要求的函数曲线只能跟f(x)=x直线有一个焦点，也就是ax^2+bx+c-x=0的方程只有一个解。从而得到第三个关系式(b-1)^2-4ac=0

通过以上的两种方法都可以得到第三个关系式，解三元方程可以分别求出a=1/4, b=1/2, c=1/4

Answer 2

由条件②，当x=（x^2+1）/2时x=1，所以f(1)-1≥0且f(1)≤1.所以f(1)=1
由f(-1)=0和f(1)=1可得b=1/2,c=1/2-a
由条件;②判别式小于等于0可得a=1/4
所以,f(x)=x^2/4+x/2+1/4.

Answer 3

有的，是f(x)=0.25*(x+1)^2。这个函数比x大，比0.5*(1+x^2)小