Question

若对任何实数x∈[-1,1],不等式x²+mx+3m<0恒成立，则实数m的取值范围是___.

Answer 1

解：
设f(x)=x²+mx+3m
要使f(x)在x∈[-1,1]上恒有f(x)＜0
则需f(-1)=1-m+3m=1+2m＜0
f(1)=1+m+3m=1+4m＜0
解得m＜-1/2
m＜-1/4
所以m＜-1/2
答案：m＜-1/2

Answer 2

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x²=[(x+3)-3]²=(x+3)²-6(x+3)+9
①
x²/(x+3)=(x+3)+9/(x+3)-6
②
x²+mx+3mx²+m(x+3)③式可化为；
m(x+3)≤-x²
因为-1≤x≤1
==>2≤x+3≤4;
两边同除以：“(x+3)”
得：
m-m>x²/(x+3)
由②得：
-m>(x+3)+9/(x+3)-6
x∈[-1,1]
令t=x+3上式可化为：
-m>t+9/t-6
t∈[2,4]对一切的t恒成立！这是恒大问题，恒大就是左边的-m比右边的最大值还要大；
记f(t)=t+9/t-6
f
'(t)=1-9/t²=(t²-9)/t²在【2，4】上先负后正，对应的函数f(t)先减后增，所以f(t)的最大值就是两个端点值中的一个；
f(2)=0.5
f(4)=.25
f(t)max=0.5
-m>0.5
m