Question

用数学归纳法证明： 对任何正整数n，（3n+1）7^n-1能被9整除

Answer 1

我只帮这一次。看右边相关问题，里面答案就有。
证明:对于任意自然数n
(3n+1)*7^n-1能被9整除
数学归纳法
(1)当n=1时
(3*1+1)*7-1=27能被9整除
(2)假设当n=k时
(3k+1)*7^k-1能被9整除
则当n=k+1时
[3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1
=(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k
=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k
括号中的代数式能被9整除
9(2k+3)*7^k能被9整除
所以当n=k+1时
[3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除
综合(1)(2)可知
对于任意自然数n
有(3n+1)*7^n-1能被9整除

Answer 2

(1)当n=1时
(3*1+1)*7-1=27能被9
整除

(2)假设当n=k时
(3k+1)*7^k-1能被9整除
则当n=k+1时
[3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1
=(3k+1)*7^k-1+(
18k
+27)*7^k
=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k
括号中的
代数式
能被9整除
9(2k+3)*7^k能被9整除
所以当n=k+1时
[3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除
综合(1)(2)可知
对于任意
自然数
n
有(3n+1)*7^n-1能被9整除