Question

如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB=2,以AB为直径的圆交BC于D,求图形阴影部分的面积

Answer 1

解：连接OD，AD．

∵∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴△ABC是等腰直角三角形，有∠B=∠C=45°，

∵∠ADB=90°，

∴AD是等腰直角三角形斜边BC上的高，则点D是BC的中点，

∴OD是△ABC的AC边对的中位线，OD∥AC，

∴点D也是半圆ADB的中点，则弓形BD与弓形AD的面积相等，所以阴影部分的面积等于△ACD的面积．

∵△ACD是等腰直角三角形，则AD=CD=根号2/2 × AC=根号2

∴S阴影=S△ACD=1/2×AC×AD=1/2×2×根号2=根号2

Answer 2

连接AD，设圆心为O,连接OD.OD=OA=OB=2/2=1,∠ADB=90°，因Rt△ABC中,
∠BAC=90°,AC=AB，其为等腰RT三角形，
∠ABC=45°，又∠ADB=90°，所以∠DAB=45°。又OA=OD，∠ODA=45°，
所以∠AOD=90°。
所以可证RT三角形ADB为等腰RT三角形，OD⊥AB,且平分AB.
扇形BOD面积=90°/360°*（2/2）²π=π/4
S△BOD=(2/2)²/2=1/2
弓形BD面积=扇形BOD面积-S△BOD=π/4-1/2，弓形AD面积=弓形BD面积=π/4-1/2，
S△ADB=2S△BOD=1/2*2=1
S△ADB+弓形AD面积=1+π/4-1/2=1/2+π/4，
S阴影部分=S△ABC-（S△ADB+弓形AD面积）=2*2/2-（1/2+π/4）=3/2+π/4