Question

设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2-6x+a=0的两根,当这样的三角形只有一个时,试求a的取值范围.

Answer 1

0<a<=8或a=9
因为方程有实根的充要条件是判别式不小于0
得a<=9
设两根为x1<=x2
由于三角形边长为正数，所以a=x1x2>0
若x1=x2，则此三角形为正三角形，只有一个
此时a=9满足题意
若x1<x2，则存在一个等腰三角形底边为x1，腰为x2
依题意，不存在一个等腰三角形底边为x2，腰为x1
即最短两边（即两腰）之和不大于最大边（即底边）
即2x1<=x2
即3x1<=x1+x2=6（韦达定理）
x1<=2
即存在一根x1<=2
a
=6x1-(x1)^2
=-(3-x1)^2+9
<=8
综上0<a<=8或a=9

Answer 2

1.此方程要有实根,那么6^2-4A>=0
得到A<=9
如果方式只有一个实根,那么A=9
此三角形为等边.
2,因为此方程的2个根为等腰三角形的边
假设2个根为X1,X2,那么X1*X2=A>0
X1+X2=6
3,要成为三角形要满足2边之和大于第三边,那么就等于2X1-X2>0
又因为X1+X2=6,那么6>X1>2,将X1带入原方程则为X1^2-6X1+A=0
那么A=6X1-X1^2=-(X1-3)^2+9
因为X1=6时,那么A=9
而X2=0
不符合题意,所以A=9应该排除掉.所以0<A<9
最后答案为0<A<9