Question

已知过抛物线Y^2=2px(p>0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点

Answer 1

你好！
设抛物线方程为y^2=2px(p>0),①则它的顶点为o(0,0),焦点f为（p/2,0),
设过f的直线为x=my+p/2,②与抛物线交于a(x1,y1),b(x2,y2),
把②代入①，y^2-2mpy-p^2=0,
y1+y2=2mp,y1y2=-p^2,③
x1=y1^2/(2p),
∴2x1y2+py1=y1^2*y2/p+py1=y1[y1y2/p+p]=0,
oa:y=(y1/x1)x交准线：x=-p/2于点d(-p/2,-py1/(2x1)),
∴db的斜率=[y2+py1/(2x1)]/(x2+p/2)=0，
由③，y2≠0，
∴直线db平行抛物线的对称轴（x轴）。
或用下面的方法
设抛物线焦点为f，a、b到准线距离分别为p,q
则：af=p,bf=q
作an⊥准线于n,bd⊥准线于m,连ad，交x轴于o1,
设fo1=a
则：|fo1|/|bd|=|af|/|ab|
即：|fo1|/q=p/(p+q)
|fo1|=pq/(p+q)
|do1|/|an|=|bf|/|ab|
即：|do1|/p=q/(p+q)
|do1|=pq/(p+q)
所以：|do1|=|fo1|
所以，o1与o重合
所以，ao连线与准线的交点b，满足ab⊥准线
即：直线db平行于抛物线的对称轴

Answer 2

直线斜率和经过的点都是确定的
所以直线是确定的
所以AB的长是定值
即底边是定值
所以只要高最大即可
做AB的平行线
显然和
抛物线
相切
时，辆平行线距离最大
即高最大
平行线斜率是1
y=x+b
代入y²=2px
x²+(2b-2p)x+b²=0
相切则
判别式
等于0
4(b-p)²-4b²=0
-2bp+p²=0
p不等于0
b=p/2
x²-px+p²/4=0
x=p/2
所以
切点
(p/2,p)
F(p/2,0)
AB是y=x-p/2
代入
x²-3px+p²/4=0
x1+x2=3p
准线
x=-p/2
则A到准线距离=x1-(-p/2)=x1+p/2
B到准线距离=x2+p/2
由抛物线定义
到准线距离等于到焦点距离
所以AB=AF+BF
=A到准线距离+B到准线距离
=x1+x2+p
=4p
切点(p/2,p)
到y=x-p/2距离=|p/2-p-p/2|/√2=p/√2
即高=p/√2
所以面积=4p*p/√2÷2=√2p²