Question

定积分的小问题

Answer 1

令x变为主项,则x=±√(y-1),x=±y/2

交点为(1,2),(-1,2),取一边求体积便可

V=π∫(0到2)
{(y/2)²-[√(y-1)]²}
dy

=π∫(0到2)
(y²/4-y+1)
dy

=π*2/3

=2π/3

Answer 2

定积分求体积是建立在微元素法的思想上，把所求立体用若干平行截面分割成很多薄片，就好像你用刀切一段萝卜。
注意，这段萝卜要求两头已经被切掉，成了夹在两个平行截面里的一段，而每一薄片萝卜近似当作柱体，底面积就是被积函数f(x)，f(x)和萝卜片所处位置有关，即与x有关。
dx就是萝卜片的厚度，也就是柱体的高，体积为f(x)dx，这就是微元素。
最后，将这些微元素累加起来，就是定积分，也就是整段萝卜的体积。而积分的上限和下限分别是萝卜两头那两个平行截面对应的坐标。
dy的情形类似，同理旋转体的体积也可以这样想。