Question

若x、y为正实数，且x＋y=4，求根号下x的²＋1＋根号下y²＋4的最小值

Answer 1

方法1
∵x+y=4.
∴y=4-x.
∴式子z=√(x²+1)+
√(y²+4)可化为：
z=√[(x-0)
²+(0+1)
²]+√[(x-4)
²+(0-2)
²].
（0＜x＜4）
易知，这个式子的几何意义是：
x正半轴上的一个动点p(x,0)到两个定点m(0,-1),n(4,2)距离的和，即
z=|pm|+|pn|.
由“两点之间，直线段最短”可知，
连接两定点m,n。与x正半轴于点p(4/3,0),此时z的最小值=|mn|=5.
方法2
作矩形abcd，使ab＝4、bc＝1，延长cb至e，使be＝2。
在ab上取一点f，使af＝x、bf＝y。
由勾股定理，有：
df＝√（af²＋ad²）＝√（x²＋1）、ef＝√（bf²＋be²）＝√（y²＋4）。
显然有：df＋ef≧de＝√（cd²＋ce²）＝√（4²＋3²）＝5。
∴√（x²＋1）＋√（y²＋4）的最小值是5。

Answer 2

方法一：
引入两个复数：z1＝x＋i，z2＝y＋2i。
∴｜z1｜＝√（x^2＋1）、｜z2｜＝√（y^2＋4）。
又｜z1｜＋｜z2｜≧｜z1＋z2｜＝｜x＋i＋y＋2i｜＝｜4＋3i｜＝√（4^2＋3^2）＝5。
∴√（x^2＋1）＋√（y^2＋4）的最小值是5。
方法二：
作矩形ABCD，使AB＝4、BC＝1，延长CB至E，使BE＝2。
在AB上取一点F，使AF＝x、BF＝y。
由勾股定理，有：
DF＝√（AF^2＋AD^2）＝√（x^2＋1）、EF＝√（BF^2＋BE^2）＝√（y^2＋4）。
显然有：DF＋EF≧DE＝√（CD^2＋CE^2）＝√（4^2＋3^2）＝5。
∴√（x^2＋1）＋√（y^2＋4）的最小值是5。