Question

数学立体几何中作出截面的方法步骤（如何分析）

Answer 1

严格的立体几何作截面类似于几何作图,一般是给定一个立体图形和三个定点,
用严格的几何方法作出截面多边形.
依据的原则很简单,掌握了就非常容易：
（1）两点确定一条直线.

（2）只有同一个平面的两条直线的才会相交,作出的交点才是实际的交点.
（3）如果已知两个不重合平面有一个共公点,则该两个平面的交线必过此公共点.

最好的理解办法就是实例说明,下面给一个比较复杂的实例.

实例题：

如上图,已知长方体上三点P、Q、R分别位于长方体左侧面、后侧面和底面上,
要求作过平面PQR和该长方体的截面.


分析：由于P、Q、R分布在不同的面上,因此无法直接连接其中两点和棱线相交来作交点,
需要借助长方体上的角点来辅助作图.


由于左侧面和后侧面有一个公共角点A,因此可以先作面APQ生成的截面.
作法：
（1）连接AP和AQ分别和棱BC(延长线)、BD交于E、F.
         (原理：同平面不平行的两条直线必有交点).
        此时有：PQEF共面,EF在底面上.

（2）连接PQ和EF,二者相交于G,此时得到了PQ和底面的交点Q,
         于是面PQR和面PGR是同一个面,而G、R都在底面上.
（3）连接GR和底面棱线相交于H、K,此时就已经确定了截面的两个关键交点.
         截面变为PQHK,剩下的步骤就简单了.
（3）连接主HQ和AB交于L,得到第三个点.
         连接LP,可得到第四个点M,连接HK得到第五个点N,
         连接MN,得到第六个点S.
         因此最终的截面多边形是：HLMSK.