Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，

Answer 1

（1）t=1或
；（2）
；（3）证明见解析.
试题分析：（1）分两种情况讨论：①当△bpq∽△bac时，
，当△bpq∽△bca时，
，再根据bp=5t，qc=4t，ab=10cm，bc=8cm，代入计算即可.
（2）过p作pm⊥bc于点m，aq，cp交于点n，则有pb=5t，pm=3t，mc=8-4t，根据△acq∽△cmp，得出
，代入计算即可.
（3）过p作pd⊥ac于点d，连接dq，bd，bd交pq于点m，过点m作ef∥ac分别交bc，ba于e，f两点，
证明四边形pdqb是平行四边形，则点m是pq和bd的中点，进而由
得到点e为bc的中点，由
得到点f为ba的中点，因此，pq中点在△abc的中位线上.
试题解析：（1）①当△bpq∽△bac时，
∵
，bp=5t，qc=4t，ab=10cm，bc=8cm，∴
，解得t=1；
②当△bpq∽△bca时，∵
，∴
，解得
.
∴t=1或
时，△bpq与△abc相似.
（2）如答图，过p作pm⊥bc于点m，aq，cp交于点n，则有pb=5t，pm=3t，mc=8-4t，
∵∠nac+∠nca=90°，∠pcm+∠nca=90°，∴∠nac=∠pcm且∠acq=∠pmc=90°，
∴△acq∽△cmp.∴
.∴
，解得：
.
（3）如答图，过p作pd⊥ac于点d，连接dq，bd，bd交pq于点m，
则
，
∵
，∴pd=bq且pd∥bq.∴四边形pdqb是平行四边形.∴点m是pq和bd的中点.
过点m作ef∥ac分别交bc，ba于e，f两点，
则
，即点e为bc的中点.
同理，点f为ba的中点.
∴pq中点在△abc的中位线上.

Answer 2

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由
勾股定理
得：AC=3cm，
由运动可知：AD=t，且△ABD时
等腰三角形
，
有三种情况：
①若AB=AD，则t=5；
②若BA=BD，则AD=2AC，即t=6；
③若DA=DB，则在Rt△BCD中，CD=t-3，BC=4，BD=t，
即（t-3）2+42=t2，
解得：t=
25
6
，
综合上述：符合要求的t值有3个，分别为5，6，
25
6
．