Question

设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=1/2(an+1/an)

Answer 1

(1)S[1]=a[1]=1/2(a[1]+1/a[1]),于是：a[1]=1=√1-√0
S[2]=a[2]+1=1/2(a[2]+1/a[2]),于是：a[2]=√2-1,S[2]=√2
S[3]=a[3]+√2=1/2(a[3]+1/a[3]),于是：a[3]=√3-√2,S[3]=√3
S[4]=a[4]+√3=1/2(a[4]+1/a[4]),于是：a[4]=√4-√3
于是可以猜想：a[n]=√n-√(n-1);
(2)显然：n=1时成立，假设n=k时，a[k]=√k-√(k-1)，S[k]=√k
n=k+1时，S[k+1]=a[k+1]+S[k]=a[k+1]+√k=1/2(a[k+1]+1/a[k+1]),
于是：a[k+1]=√(k+1)-√k
即：n=k+1时也成立
综上：a[n]=√n-√(n-1)对于n∈N成立.