Question

求此级数的和函数(答案已经有了，想询问过程)

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Answer 1

分享一种过程，详细如下：设F(t)=1+mt+m(m-1)t²/2!+m(m-1)(m-2)t³/3!+…+m(m-1)(m-2)…[m-(n-1)(t^n)/n!+…①。
两边对t求导，有F'(t)=m[1+(m-1)t/1！+(m-1)(m-2)t²/2！+…]，两边同乘以(1+t)、合并同类项，有(1+t)F'(t)=mF(t)。
∴F'(t)/F(t)=m/(1+t)。解得F(t)=(1+t)^m②。
题中，通式(an)x^n=[(2n-1)!!/(2n)!!]x^n={1*3*5*…*(2n-1)/[(2^n)n!]}x^n={(-1/2)*(-3/2)*(-5/2)*…*[(-1/2)-(n-1)]/n!}(-x)^n③。
显然，在①中令m=-1/2、t=-x，可得①中的通式与③相同。故，再利用②，可得S(x)=1+∑[(2n-1)!!/(2n)!!]x^n=(1-x)^(-1/2)。
供参考。