Question

cosA+cosB+cosC=3/2,求三角形ABC

Answer 1

由余弦定理及已知条件有：

(b^2+c^2-a^2)/(2bc)+(a^2+c^2-b^2)/(2ac)+(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=3/2

由于a^2+b^2>=2ab
(ab为正数时，等号成立时，a=b）

等式左边＝(b^2+c^2-a^2)/(2bc)+(a^2+c^2-b^2)/(2ac)+(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

>=(2bc-a^2)/(2bc)+(2ac-a^2)/(2ac)+(2ab-c^2)/(2ab)

=3-(a^3+b^3+c^3)/(2abc)

而abc<=(a^3+b^3+c^3)/3
(a=b=c时等号成立)

等式左边>=3-(a^3+b^3+c^3)/[(a^3+b^3+c^3)/3]=3/2

而已知等式左边＝3/2

故要等式左边>=3/2的等号成立，必须a=b=c，即ABC是等边三角形。