Question

数学不等式问题

（1）若f（x）=根号（1-x的平方），a不等于b，求证|f（a）-f(b)|<|a-b|
(2)已知a,b,c属于R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1，求证abcd至少有一个为负数

Answer 1

第一题：

设a = sina ,b = sinb

只需证明：
|cosa - cosb | < |sina - sinb|
用角的定理：

最后

|sin(（a+b/)2）| < |cos((a+b)/2)|
显然条件不足
事实上：a = 1 , b = 1/2 ,带入题目，结果就不成立，
（题目有点问题）

第二题：
ac+bd>1得
(1-b)c + (1-a)d > 1 --1式
a(1-d) + b(1-c) > 1 --2式

1,2式相加：

化简： (a+b+c+d) - (bc+ad+ad+bc) > 2

又 a+b+c+d = 2

所以： 2(ad+bc) < 0
所以至少有一负数

Answer 2

第一题方法很麻烦，要分类讨论，让我再想一想有没简单方法。
第二题用反证法。
解：假设a,b,c,d均大于等于0。
显然，当a，b，c，d中有一个是0时，ac+bd>1不成立,故a，b，c，d均大于0。
ac+bd>1
ac+(1-a)(1-c)>1
2ac-a-c>0
a+c<2ac
1/a+1/c<2(因为a，c>0,可以除过来）
又因为a，b，c，d>0,所以a<1,c<1.
故1/a>1,1/c>1,1/a+1/c>2,与假设矛盾。
故假设不成立，abcd至少有一个为负数.
看来楼下已经回答了第一题，其实就是一个圆上切线，割线斜率的问题，只是楼下的三角函数的和差化积公式教材不作要求，另外题目确有问题（怪不得证半天证不出），楼下高人。