Question

急！数学不等式问题

（1）已知0<a<1,0<b<1,0<c<1,求证，（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少头一个不大于1/4。
（2）已知x平方+y平方=1，求证：|3乘以x平方-8xy-3乘以y的平方|小于等于5。
|是绝对值符号

Answer 1

1,反证法
假设三者都大于1/4,
则1/4<(1-a)b<=[(1-a+b)/2]^2=(1-a+b)^2/4 => |a-b-1|>1
同理|b-c-1|>1;|c-a-1|>1
则3=1+1+1<|a-b-1|+|b-c-1|+|c-a-1|<=|(a-b-1)+(b-c-1)+(c-a-1)|=|-3|=3
即推出3<3,矛盾，故假设不成立，故原命题成立

2，因为x^2+y^2=1,所以可以设x=cosa,y=sina
则|3x^2-8xy-3y^2|=|3(cosa)^2-3(sina)^2-8(sina)(cosa)|
=|3cos2a-4sin2a|=|5cos(2a+b)|<=5 （其中tanb=-4/3）
得证

Answer 2

1）反正
（1-a）b（1-b）c（1-c）a>1/4*1/4*1/4=1/64
两边开根号 √a√(1-a)√b√(1-b)√c√(1-c)>1/8 (1)
∵√a√(1-a)<=（a+1-a)/2=1/2
√b√(1-b)<=1/2
√c√(1-c)<=1/2
∴√a√(1-a)√b√(1-b)√c√(1-c)<=1/2*1/2*1/2=1/8
(1)不成立，故原命题成立。
2）设x=sina,y=sinb
|3x^2-8xy-3y^2|=|3sin^2a-8sinasinb-3sin^2b|=|3(sina+sinb)(sina-sinb)-8sinasinb|=|3sin(a-b)sin(a+b)-sin(a+b)-sin(a-b)|<=|3sin(a-b)sin(a+b)|+|-sin(a+b)|+|-sin(a-b)|<=3+1+1=5

Answer 3

第一题，用反证法，先假设，（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a都大于1/4。
再用柯西不等式做
第二题，先常数逆代，再用基本不等式变式做

Answer 4

http://zhidao.baidu.com/question/46341834

http://zhidao.baidu.com/question/61081647.html 方法一样，三角换元