Question

求助两道高中数学题~

1.椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的四个顶点A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为__?
2.中心在原点,一个焦点为F1(0.√50)的椭圆截直线Y=3X-2所得的弦的中点的横坐标为1/2.求椭圆方程.

Answer 1

1、椭圆四顶点从X轴正方向开始，逆时针ABCD，
A（a,0),B(0,b),
直线AB方程：bx-ay-ab=0,
其内切圆半径=c,与直线AB距离也是c,圆心为原点，
根据点线距离公式，c=|-ab|/√（a^2+b^2)=ab/√（a^2+b^2),
c/a=b/√（a^2+b^2),
c/a=√（a^2-c^2)/√（2a^2-c^2),
离心率e=c/a,
e=√[(1-e^2)/(2-e^2)],
e^4-3e^2+1=0,
e=√[(3±√5）/2]，

2、椭圆焦点在Y轴，设方程为:y^2/b^2+x^2/a^2=1,(b>a),
焦点F（0，5√2）
c=5√2,
则方程为：y^2/(a^2+50)+x^2/a^2=1,
设直线y=3x-2与椭圆相交于A、B两点，A（x1,y1),B(x2,y2),
(x1+x2)/2=1/2,x1+x2=1,
将直线方程代入椭圆方程，
(10a^2+50)x^2-12a^2x-(a^4+46a^2)=0,
根据韦达定理，
x1+x2=12a^2/(10a^2+50),
12a^2/(10a^2+50)=1,
a^2=25,
a=5,(舍去负值），
b^2=a^2+c^2=25+50=75,
故椭圆方程为：y^2/75+x^2/25=1.

Answer 2

1、因为内切圆过焦点，所以可得b=c。所以e=c/a=根2/2。
2、焦点在y轴且已知，y^2/a^2+x^2/b^2=1.则a^2-b^2=50.将直线和曲线方程联立，消去y，得到(9b^2+a^2)x^2-12b^2x+4b^2-a^2b^2=0.所以12b^2/(9b^2+a^2)=2*1/2=1.再联立上式可解得b=5,a=5根3。