Question

y''+2y'+y=xe^x的通解

Answer 1

y''-3y+2y=0的特征方程为r^2-3r+2=0,r=1,2
齐次方程通解为c1e^x+c2e^(2x)
因为1是根，故设特解y*=x(ax+b)e^x
y*
'=(2ax+b)e^x+x(ax+b)e^x=(ax^2+(2a+b)x+b)e^x
y*
''=(2ax+2a+b)e^x+(ax^2+(2a+b)x+b)e^x=(ax^2+(4a+b)x+2a+2b)e^x
代入得：(ax^2+(4a+b)x+2a+2b)e^x-3(ax^2+(2a+b)x+b)e^x+2x(ax+b)e^x=xe^x
4a+b-3(2a+b)+2b=1
2a+2b-3b=0
通解为：y=c1e^x+c2e^(2x)+x(ax+b)e^x
有事情。自己求出ab

Answer 2

齐次通解为
y=(a+bx)e^(-x)
找一特解即可
设特解y*=（Cx+D）e^x
y*'=（Cx+C+D)e^x
y*''=(Cx+2C+D)e^x
y*''+2y*'+y*=(Cx+2C+D+2Cx+2C+2D+Cx+D)e^x=(4Cx+4C+4D)e^x=xe^x
C=1/4
D=-1/4
y=(a+bx)e^(-x)+(x/4-1/4)e^x
其中a,b为任意常数
也可如此解
设u=y'+y
则u'+u=xe^x
(ue^x)'=(u'+u)e^x=xe^(2x)
则
ue^x=∫xe^(2x)dx=(1/2)∫xde^(2x)=(1/2)xe^(2x)-(1/2)∫e^(2x)dx=(1/2)xe^(2x)-(1/4)e^(2x)+C
(ye^x)'=(y'+y)e^x=ue^x=(1/2)xe^(2x)-(1/4)e^(2x)+C
ye^x=∫[(1/2)xe^(2x)-(1/4)e^(2x)+C]dx=∫[(1/4)x-(1/8)de^(2x)+∫Cdx
=[(1/4)x-(1/8)]e^(2x)-∫e^(2x)d[(1/4)x-(1/8)]+bx
=[(1/4)x-(1/8)]e^(2x)-(1/4)∫e^(2x)dx+ax=[(1/4)x-(1/8)]e^(2x)-(1/8)e^(2x)+a+bx
=[(1/4)x-(1/4)]e^(2x)+a+bx
y=[(1/4)x-(1/4)]e^(x)+(a+bx)e^(-x)