Question

求极限limx→0+,xsin(1/x) 为什么不是1

Answer 1

当x→0+的时候，x的极限是0，是个无穷小
而sin（1/x）是有界函数。
根据有界函数和无穷小相乘，结果还是无穷小的定理
所以当x→0+的时候，xsin（1/x）还是无穷小，极限是0而不是1
注意，当x→0+的时候，无论是1/x，还是sin（1/x），都不是无穷小，是不能将sin（1/x）等价为1/x，不是无穷小，怎么能等价？

Answer 2

你是不是这么解的
xsin(1/x)
=sin(1/x)/（1/x)
=1
注意这个有个条件的，那就是1/x→0
题中x→0，而1/x→无穷
条件不成立，不能使用sin(1/x)/（1/x)=1
所以
limx→0+,
xsin(1/x)
不等于1

Answer 3

limx→0
sin3x/2x
=lim
sin3x/3x
*(3/2)
根据重要的极限
=(3/2)*1
=3/2
limx→∞
xsin(1/x)
=lim
sin(1/x)/(1/x)
根据重要的极限
=1
limx→0
[sin(1/x)]/(1/x)
=lim
x*sin(1/x)
因为x为无穷小量，sin(1/x)为有界量
无穷小量*有界量=无穷小量
即=0
根据重要的极限是：
limx→0
(sinx)/(x)=1
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