Question

已知函数f(x)=2+log3x(1≤x≤9),求函数y=[f(x)^2+f(x^2) 的最大值和最小值,并求出相应的值

Answer 1

f(x)=[log2(x)-log2(2)][log2(4)-log2(x)]
=[log2(x)-1][2-log2(x)]
设t=log2(x),√2≤x≤8，则3/2<=t<=3
上式=(t-1)(2-t)
=2t-t^2-2
t
=-t^2
3t-2
=-(t-3/2)^2
1/4
所以,当t=3/2时,即x=2^(3/2)时有最大值是1/4
当t=3,即x=2^3=8时有最小值是-2

Answer 2

根据f（x）的定义域为[1，9]先求出y的定义域为[1，3]，然后利用二次函数的最值再求函数y=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3的最大值与最小值．
解：由f（x）的定义域为[1，9]可得y的定义域为[1，3]，
又y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，
∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．
∴当x=1时，y有最小值6；
当x=3时，y有最大值13．

Answer 3

y=f(x)^2+f(x^2)=(2+log3x)^2+2+log3(x^2)
=(log3x)^2+6log3x+6
此时1《x《9，且1《x^2《9，则此时的x取值范围是1《x《3
(注意此时函数y的x的范围和f(x)的x的范围是不同的，此处是易错点)
这样令t=log3x属于[0,1]，则y=t^2+6t+6=(t+3)^2-3
所以最大值是t=1,y=13,此时x=3;
最小值是t=0,y=6,此时x=1